反伽玛函数

反伽玛函数${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$（反Γ函数，Inverse gamma function）是伽玛函数（Γ函数）的反函数。 换句话说，如果反Γ函数以${\textstyle \Gamma ^{-1}(x)=y}$的形式表示，则其满足${\textstyle \Gamma (y)=x}$。 例如24的反伽玛函数值为5，${\displaystyle \Gamma ^{-1}(24)=5}$，因为5代到伽玛函数为24^[1]。 一般而言，反伽玛函数是指定义域在实数区间${\displaystyle \left[\beta ,+\infty \right)}$上且图形在实数区间${\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}$上的主分支，其中${\displaystyle \beta =0.8856031\ldots }$^[2]是伽玛函数在正实轴上的最小值、${\displaystyle \alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots }$^[3]是能使${\displaystyle \Gamma (x)}$最小的${\displaystyle x}$值^[4]。 反伽玛函数可以透过伽玛函数和阶乘的关系来定义反阶乘，即阶乘的反函数。

反伽玛函数${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$的函数图形

反伽玛函数${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$在复数域的色相环复变函数图形

限制在${\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}$区间的反伽玛函数称为伽玛函数的主逆函数（principal inverse function），可以表示为${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$。 在不同分支上的伽玛函数也可以定义出反伽玛函数，在第n个分支上的反伽玛函数可以表示为${\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}$。

直接将伽玛函数取反函数将成为多值函数，因此通常会将反伽玛函数限制在特定区间上的反函数

定义

由于反伽玛函数是伽玛函数的反函数，因此最简单的情况下可以表示为：

${\displaystyle \Gamma (\Gamma ^{-1}(x))=x}$

更进一步的，反伽玛函数可以用如下积分表达式来定义：^[5]

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)}$

其中${\displaystyle \int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty }$、a和b为满足${\displaystyle b\geqq 0}$的实数、${\displaystyle \mu (t)}$为博雷尔测度。

近似值

不同分支的反伽玛函数

反伽玛函数的分支可以透过先计算${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$在分支点${\displaystyle \alpha }$附近的泰勒级数，接着截断级数并求其反函数来得到更好的近似值。 例如，可以写出关于反伽玛函数的二次近似^[6]；

${\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}$

反伽玛函数也有如下的渐近分析形式：^[7]

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}}$

其中${\displaystyle W_{0}(x)}$是朗伯W函数。这个公式是利用史特灵公式求逆得到的，因此也可以展开为渐近级数。

级数展开

要计算反伽玛函数的级数展开可以先计算倒数伽玛函数${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}}$在负整数极点附近的级数展开，然后再求级数的逆。

令${\displaystyle z={\frac {1}{x}}}$可以得到第${\displaystyle n}$个分支的反伽玛函数${\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}$，其中${\displaystyle n\geq 0}$。^[8]

${\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)=-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)}$

其中，${\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}$是多伽玛函数。

反阶乘

反阶乘的复变函数图形

反阶乘是阶乘的反函数，有时记为Factorial^-1或ArcFactorial^[9]，其函数值可以透过反伽玛函数或解伽玛函数方程来得到^[10]。 例如120的反阶乘为5，因为${\displaystyle 5!=120}$。 目前反阶乘的数学表达方式学界尚无共识。^{[注 1]}

部分的反阶乘

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n}$的反阶乘
-1	2.39393017729 + 2.66169895945${\displaystyle i}$
0	不存在
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0.28307261544 + 1.09787390370${\displaystyle i}$
${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
1	1
2	2
3	2.4058699863
4	2.6640327972
5	2.8523554580
6	3
24	4

反伽玛函数与反阶乘的关系为：

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(n)=\mathrm {ArcFactorial} (z)+1}$

这是由于：

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}$

反阶乘可以定义为：

${\displaystyle (\mathrm {ArcFactorial} (z))!=z}$

条件是${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)}$在复平面上是全纯的，并且沿着实轴的一部分进行切割，从正参数阶乘的最小值开始，延伸到${\displaystyle -\infty }$。

在分支点${\displaystyle z=\mu _{0}}$附近的反阶乘可以展开为；

${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)=\nu _{0}+\sum _{n=1}^{N-1}d_{n}\cdot {\Big (}\log(z/\mu _{0}){\Big )}^{n/2}}$

由于阶乘与伽玛函数之间的关联，反阶乘也可以透过反伽玛函数近似公式来估计：

${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(z\right)\approx -1+\alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}$

因此，反阶乘也可以写成如下的渐近分析形式：^[7]

${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(x\right)\sim {\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}-{\frac {1}{2}}}$

其中${\displaystyle W_{0}(x)}$是朗伯W函数。

参见

• 倒数伽玛函数