可测函数

可测函数（英语：measurable function）是保持可测空间结构的函数，也是勒贝格积分中主要讨论的函数。

正式定义

可测函数的定义 — 设 ${\displaystyle (X,\Sigma _{X})}$ 与 ${\displaystyle (Y,\Sigma _{Y})}$ 为可测空间。那函数 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 对任意 ${\displaystyle B\in \Sigma _{Y}}$ 若满足：

${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$

则称 ${\displaystyle f}$ 为一个 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ - ${\displaystyle \Sigma _{Y}}$ 可测函数。

重要范例

实可测函数

取本节定义中的 ${\displaystyle Y}$ 为实数系 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ，然后取：

${\displaystyle {\mathcal {I}}={\bigg \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists a)(\exists b)\left[\,(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (A=(a,\,b))\,\right]{\bigg \}}}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }:=\sigma ({\mathcal {I}})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge ({\mathcal {I}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$

换句话说，${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }}$ 是由实数开区间所生成的博雷尔代数（注意到 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 本身是个拓扑基），那么这样的${\displaystyle \Sigma _{X}}$ - ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }}$ 可测函数 ${\displaystyle f}$ ，通常会简称为 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ - 实可测函数；甚至简称为实可测函数。概率论里的随机变量就是实可测函数。

博雷尔函数

主条目：博雷尔可测函数

如果${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ 与 ${\displaystyle (Y,\tau _{Y})}$ 正好也是拓扑空间，这时取以下两个最小σ-代数：

${\displaystyle \sigma (\tau _{X})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge (\tau _{X}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$

${\displaystyle \sigma (\tau _{Y})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge (\tau _{Y}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$

换句话说，${\displaystyle \sigma (\tau _{X})}$ 是由 ${\displaystyle X}$ 上开集所生成的博雷尔代数；${\displaystyle \sigma (\tau _{Y})}$ 是由 ${\displaystyle Y}$ 上开集所生成的博雷尔代数，那这样 ${\displaystyle \sigma (\tau _{X})}$ - ${\displaystyle \sigma (\tau _{X})}$ 可测函数 ${\displaystyle f}$ 又称为 ${\displaystyle \tau _{X}}$ - ${\displaystyle \tau _{Y}}$ 博雷尔函数（Borel function）。

根据拓扑空间连续函数的定义， ${\displaystyle \tau _{X}}$ - ${\displaystyle \tau _{Y}}$ 博雷尔函数必定 ${\displaystyle \tau _{X}}$ - ${\displaystyle \tau _{Y}}$ 连续，但反之不成立，原因可见下面可测函数的性质的定理(2)。

可测函数的性质

定理(1) — 设 ${\displaystyle (X,\Sigma _{X})}$ 为可测空间， ${\displaystyle Y}$ 为一集合，且有函数 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 。那

${\displaystyle \Sigma =\left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$

为 ${\displaystyle Y}$ 的σ代数。

证明

以下将逐条检验 ${\displaystyle \Sigma }$ 是否符合σ代数的定义 (1) ${\displaystyle Y\in \Sigma }$ 因为： ${\displaystyle f^{-1}(Y)=\left\{x\in X\,|\,(\exists y\in Y)\left[f(x)=y\right]\right\}=X\in \Sigma _{X}}$ 所以 ${\displaystyle Y\in \Sigma }$。 (2) ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ，则 ${\displaystyle Y-B\in \Sigma }$ 若 ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ，因为： ${\displaystyle f^{-1}(Y-B)={\big \{}x\in X\,|\,(\exists y)\left\{(y\in Y)\wedge (y\notin B)\wedge [f(x)=y]\right\}{\big \}}=X-f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$ 所以 ${\displaystyle Y-B\in \Sigma }$ 。 (3)可数个并集仍在 ${\displaystyle \Sigma }$ 中 若 ${\displaystyle \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma }$ ，那因为： ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\right)={\big \{}x\in X\,{\big |}\,(\exists y)\left\{[f(x)=y]\wedge (\exists i\in N)(y\in B_{i})\right\}{\big \}}=\bigcup \{f^{-1}(B_{1}),\,f^{-1}(B_{2}),\,\dots \}\in \Sigma _{X}}$ 所以 ${\displaystyle \bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\in \Sigma }$ 。 综上所述， ${\displaystyle \Sigma }$ 的确是${\displaystyle Y}$ 的σ代数。${\displaystyle \Box }$

定理(2) — ${\displaystyle (X,\Sigma _{X})}$ 为可测空间 ，${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Y}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}$ 是集合 ${\displaystyle Y}$ 的一个子集族 ，那对函数 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 来说，以下两叙述等价：

1. 对所有 ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}}$ 有 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$
2. ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ - ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 可测函数

证明

(1 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 2) 若对所有 ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}}$ 都有： ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$ 换句话说： ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Y}\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$ 那根据本节之定理(1)和最小σ代数 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 的定义有： ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$ 换句话说，只要 ${\displaystyle B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 就有 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$，故 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ - ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 可测函数。${\displaystyle \Box }$ (2 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 1) 若对所有${\displaystyle B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 都有 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$，换句话说： ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Y}\subseteq \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$ 这样的话，的确可以从 ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}}$ 推出 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$ 。${\displaystyle \Box }$

定理(3) — 设 ${\displaystyle (X,\Sigma _{X})}$为可测空间，${\displaystyle (Y,\tau _{Y})}$ 与 ${\displaystyle (Z,\tau _{Z})}$ 为拓扑空间，若： ^[1]

• ${\displaystyle f:X\to Y}$ 为 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$- ${\displaystyle \sigma (\tau _{Y})}$可测函数
• ${\displaystyle g:Y\to Z}$ 为 ${\displaystyle \tau _{Y}}$ - ${\displaystyle \tau _{Z}}$ 连续函数

则复合函数 ${\displaystyle g\circ f}$ 为 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$- ${\displaystyle \sigma (\tau _{Z})}$可测函数。

证明

根据定理(2)， ${\displaystyle g\circ f}$ 为 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$- ${\displaystyle \sigma (\tau _{Z})}$可测函数等价于： “对所有的 ${\displaystyle C\in \tau _{Z}}$ ， ${\displaystyle {(g\circ f)}^{-1}(C)=f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}}$” 但因为${\displaystyle g}$ 为 ${\displaystyle \tau _{Y}}$ - ${\displaystyle \tau _{Z}}$ 连续函数，故： “对所有的 ${\displaystyle C\in \tau _{Z}}$ ， ${\displaystyle g^{-1}(C)\in \tau _{Y}\subseteq \sigma (\tau _{Y})}$” 但 ${\displaystyle f}$ 又为 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$- ${\displaystyle \sigma (\tau _{Y})}$可测函数，故可以得到 ${\displaystyle f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}}$ ，所以本定理得证。${\displaystyle \Box }$

• 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
• 可数个实可测函数的最小上界也是可测的。
• 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
• 卢辛定理

勒贝格可测函数

勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :f(x)>a\}}$

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数

不是所有的函数都是可测的。例如，如果${\displaystyle A}$是实数轴${\displaystyle \mathbb {R} }$的一个不可测子集，那么它的指示函数${\displaystyle 1_{A}(x)}$是不可测的。

参见

• 可测函数的向量空间：${\displaystyle L^{p}}$空间
• 保测动态系统