斯卢茨基定理

在概率论，斯卢茨基定理将实数列极限的若干代数性质推广到随机变量序列。^[1]

定理得名自尤金·斯卢茨基。^[2]斯卢茨基定理有时归功于哈拉尔德·克拉梅尔。^{[注 1]}

叙述

设${\displaystyle (X_{n}),(Y_{n})}$为随机标量、向量或矩阵序列。若${\displaystyle (X_{n})}$依分布收敛至随机元素${\displaystyle X}$，且${\displaystyle (Y_{n})}$依概率收敛至常数${\displaystyle c}$，则

• ${\displaystyle (X_{n}+Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ X+c;}$
• ${\displaystyle (X_{n}Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ Xc;}$
• ${\displaystyle (X_{n}/Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ X/c,}$   若c可逆，

其中${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$表示依分布收敛。

说明

1. ${\displaystyle (Y_{n})}$趋向于常数的条件不能省略。假如允许趋向于非退化的随机元，则定理不再成立。例如，设${\displaystyle X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$，${\displaystyle Y_{n}=-X_{n}}$，则对所有${\displaystyle n}$，皆有和${\displaystyle X_{n}+Y_{n}=0}$。再者，${\displaystyle Y_{n}{\xrightarrow {d}}{\rm {Uniform}}(-1,0)}$，但${\displaystyle X_{n}+Y_{n}}$并不依分布收敛至${\displaystyle X+Y}$，其中${\displaystyle X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$，${\displaystyle Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)}$，${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$独立。^[3]
2. 若将定理中，所有“依分布收敛”改成“依概率收敛”，则结论仍然成立。

证明

引用以下引理：若${\displaystyle (X_{n})}$依分布收敛至${\displaystyle X}$，且${\displaystyle (Y_{n})}$依概率收敛至常数${\displaystyle c}$，则联合向量${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$依分布收敛到${\displaystyle (X,c)}$。^[4]

现对上述依分布的收敛使用连续映射定理。由${\displaystyle f(x,y)=x+y}$，${\displaystyle g(x,y)=xy}$，${\displaystyle h(x,y)=xy^{-1}}$定义的函数${\displaystyle f,g,h}$皆为连续函数（为使${\displaystyle h}$连续，要求${\displaystyle y}$可逆），故由连续映射定理，斯卢茨基定理成立。

参见

• 随机变量的收敛