内射维度、投射维度与同调维度

投射维度、内射维度与同调维度（又称整体维度）是交换代数中考虑的重要不变量。

定义

以下设 ${\displaystyle A}$ 为交换环，而 ${\displaystyle M}$ 为 ${\displaystyle A}$-模。

${\displaystyle M}$ 的内射维度 ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)}$ 定义为其内射分解的最短长度（当 ${\displaystyle M=(0)}$ 时置 ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(0)=-\infty }$）。投射维度 ${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)}$ 则定义为其投射分解的最短长度。

利用同调代数的工具，可以进一步得到下述刻划：

命题一. 设 ${\displaystyle n\geq 0}$ 为整数，下述条件等价：

• ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)\leq n}$。
• 对所有 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle N}$，有 ${\displaystyle i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(N,M)=0}$。
• 对所有理想 ${\displaystyle I\subset A}$，有 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(A/I,M)=0}$。
• 对所有正合序列 ${\displaystyle 0\to M\to I^{0}\to \cdots \to I^{n-1}\to Q\to 0}$，若每个 ${\displaystyle I}$ 都是内射模，则 ${\displaystyle Q}$ 也是内射模。

命题二. 设 ${\displaystyle n\geq 0}$ 为整数，下述条件等价：

• ${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)\leq n}$。
• 对所有 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle N}$，有 ${\displaystyle i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(M,N)=0}$。
• 对所有正合序列 ${\displaystyle 0\to K\to P_{n-1}\to \cdots \to P_{0}\to M\to 0}$，若每个 ${\displaystyle P}$ 都是投射模，则 ${\displaystyle K}$ 也是投射模。

当 ${\displaystyle A}$ 为诺特环而 ${\displaystyle M}$ 为有限生成 ${\displaystyle A}$-模时，上述条件更等价于

• 对所有极大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$，有 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(M,A/{\mathfrak {m}})=0}$
• 对所有极大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$，有 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n+1}^{A}(M,A/{\mathfrak {m}})=0}$

由此可定义环 ${\displaystyle A}$ 的同调维度 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)}$为：

• ${\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {pd} _{A}(M)}$
• ${\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {id} _{A}(M)}$
• 存在 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle M,N}$ 使得 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n}(M,N)\neq 0}$ 的最大整数 ${\displaystyle n}$（可能是无穷大）。

性质

内射维度、投射维度与同调维度对局部化有下述关系：

${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {id} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})}$

${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {pd} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})}$

其中的 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 取遍 ${\displaystyle A}$ 的所有素理想（或极大理想），而投射维度给出 ${\displaystyle \mathrm {Spec} A\to \mathbb {Z} \cup \{\pm \infty \}}$ 的上半连续函数。事实上，仅须考虑 ${\displaystyle M}$ 的支撑集中的素理想。

由此立刻得到 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {hd} (A)}$。

此外，它们与模的深度也有密切的关系，例如：

定理 （Auslander-Buchsbaum）：设 ${\displaystyle A}$ 为局部诺特环，${\displaystyle M}$ 为有限生成 ${\displaystyle A}$-模，而且其投射维度有限，则

${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}$

定理：设 ${\displaystyle A}$ 为局部诺特环，${\displaystyle M}$ 为有限生成 ${\displaystyle A}$-模，而且其内射维度有限，则

${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}$

最后，同调维度为正则局部环给出了一个完全内在的刻划：

定理（Serre）：一个局部诺特环 ${\displaystyle A}$ 是正则局部环的充要条件是 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)<+\infty }$，此时 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)=\dim A}$。

文献

• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6