向量测度

向量测度（vector measure）是数学名词，是指针对集合族定义的函数，其值为满足特定性质的向量。向量测度是测度概念的推广，测度是针对集合定义的函数，函数的值只有非负的实数。

定义及相关推论

给定集合域 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$及巴拿赫空间 ${\displaystyle X}$，有限加性向量测度（finitely additive vector measure）简称测度，是一个满足以下条件的函数${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$：针对任二个${\displaystyle {\mathcal {F}}}$内的不交集${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$，下式均成立：

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$

向量测度${\displaystyle \mu }$称为可数加性（countably additive）若针对任意${\displaystyle {\mathcal {F}}}$内不交集形成的序列 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$，都可以让${\displaystyle {\mathcal {F}}}$内的联集满足以下条件

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$

等号右边的级数会收敛到巴拿赫空间${\displaystyle X}$的范数。

可以证明向量测度${\displaystyle \mu }$有可数加性，当且仅当针对任何以上的序列${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$，下式均成立

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\qquad \qquad (*)}$

其中${\displaystyle \|\cdot \|}$是${\displaystyle X}$的范数。

在Σ-代数中定义的可数加性向量测度，会比有限测度（测度的值为非负数）、有限有号测度（英语：signed measure）（测度的值为实数）及复数测度（英语：complex measure）（测度的值为复数）要广泛。

举例

考虑一个由${\displaystyle [0,1]}$区间的集合形成的场，以及此区间内所有勒贝格测度形成的族${\displaystyle {\mathcal {F}}}$。针对任意集合${\displaystyle A}$，定义

${\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}}$

其中${\displaystyle \chi }$是${\displaystyle A}$的指示函数。依${\displaystyle \mu }$的定义不同，会得到不同的结果。

• ${\displaystyle \mu }$若是从${\displaystyle {\mathcal {F}}}$到Lp空间 ${\displaystyle L^{\infty }([0,1])}$的函数，${\displaystyle \mu }$是没有可数加性的向量测度。
• ${\displaystyle \mu }$若是从${\displaystyle {\mathcal {F}}}$到L^p空间 ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$的函数，${\displaystyle \mu }$是有可数加性的向量测度。

依照上一节的判别基准(*)可以得到以上的结果。

向量测度的变差

给定向量测度${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X,}$，其变差（variation）${\displaystyle |\mu |}$定义如下

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$

其中最小上界是针对所有${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中${\displaystyle A}$，所有将${\displaystyle A}$划分到有限不交集的划分

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$

此处，${\displaystyle \|\cdot \|}$为${\displaystyle X}$的范数。

${\displaystyle \mu }$的变差是有限可加函数，其值在${\displaystyle [0,\infty ]}$之间，会使下式成立

${\displaystyle \|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)}$

针对任意在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$内的${\displaystyle A}$。若${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$是有限的，则测度${\displaystyle \mu }$有有界变差（bounded variation）。可以证明若${\displaystyle \mu }$为具有有界变差的向量测度，则${\displaystyle \mu }$具有可数加性当且仅当${\displaystyle |\mu |}$具有可数加性。

李亚普诺夫定理

在向量测度的理论中，李亚普诺夫（英语：Alexey Lyapunov）的定理提到non-atomic 向量测度的值域是闭集及凸集^[1][2][3] 。而且non-atomic 向量测度的值域是高维环面（zonoid，是闭集及凸集，是环带多面体收敛序列的极限）^[2]。李亚普诺夫定理有用在数理经济学^[4][5]、起停式控制的控制理论^[1][3][6][7]及统计理论（英语：statistical theory）^[7]。 李亚普诺夫定理已可以用沙普利－福克曼引理证明^[8]，后者可以视为是李亚普诺夫定理的离散化版本^{[7][9] [10]}。