哈代—拉马努金定理

在数学上，哈代—拉马努金定理是由拉马努金证明、由哈代检验的公式。^[1]公式断言，若${\displaystyle \omega (n)}$是正整数${\displaystyle n}$彼此相异的质因数个数，那么其正常阶（英语：normal order of an arithmetic function）为${\displaystyle \log {\log {(n)}}}$。

换句话说，绝大多数的正整数相异的质因数个数大略为${\displaystyle \log {\log {(n)}}}$。

精确描述

一个更精确的叙述是，若${\displaystyle \psi (n)}$是任意实数函数，且在${\displaystyle n}$趋近于无限时会趋近于无限的话，那么以下关系式对几乎所有的整数成立（也就是例外的比例无限小）：

${\displaystyle |\omega (n)-\log \log n|<\psi (n){\sqrt {\log \log n}}}$

更传统的关系式如下：

${\displaystyle |\omega (n)-\log \log n|<{(\log \log n)}^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}$

换句话说，若${\displaystyle g(x)}$是不大于${\displaystyle x}$且是上式例外的正整数${\displaystyle n}$的个数的话，那么在${\displaystyle x}$趋近于无限时，${\displaystyle g(x)/x}$趋近于零。

历史

图兰·帕尔在1934年找到了上式的简单证明，他用图兰筛法证明了下式：（Turán (1934)）

${\displaystyle \sum _{n\leq x}|\omega (n)-\log \log x|^{2}\ll x\log \log x\ .}$

推广

若将${\displaystyle \omega (n)}$换成${\displaystyle \Omega (n)}$，即正整数${\displaystyle n}$质因数总数、将重复质因数重复计算，类似的结果仍然成立。

另外，这定理后来被推广为艾狄胥—卡滋定理（英语：Erdős–Kac theorem）；而艾狄胥—卡滋定理指出${\displaystyle \omega (n)}$的数值基本呈现正态分布。