唯一性定理 (泊松方程)

在高斯单位制，静电学中的泊松方程的一般表达是

\mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \varphi )=-\rho _{f}

其中 $\varphi$ 是电势， $\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi$ 是电场。

对于很大一部分的边值条件，势函数的梯度的唯一性（即电场的唯一性）可以如下证明。

反证，假设电势有两个解 $\varphi _{1}$ 和 $\varphi _{2}$ 。令 $\phi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$ ，也就是两个解的差。已知 $\varphi _{1}$ 和 $\varphi _{2}$ 均满足泊松方程， $\phi$ 必须满足

\mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=0

应用一个恒等式

\nabla \cdot (\phi \epsilon \,\nabla \phi )=\epsilon \,(\nabla \phi )^{2}+\phi \nabla \cdot (\epsilon \,\nabla \phi )

注意到右边第二项恒等于零，于是可以将方程改写为

\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}

在边值条件所确定的边界内对体积进行积分

\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )d^{3}\mathbf {r} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r}

应用散度定理，上式可以改写为

\sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r}

其中 $S_{i}$ 是边值条件确定的曲面边界。

由于 $\epsilon >0$ 且 ( ${\mathbf {\nabla } }\phi )^{2}\geq 0$ ，那么当上式左边的曲面积分等于零的时候， ${\mathbf {\nabla } }\phi$ 必须处处为零（即得 ${\mathbf {\nabla } }\varphi _{1}={\mathbf {\nabla } }\varphi _{2}$ )。

这就意味着，该方程的解的梯度是唯一确定的，当且仅当如下条件成立

\sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \,\mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =0

使得上式成立的边值条件包括：

狄利克雷边界条件： $\varphi$ 在曲面边界有定义。因此 $\varphi _{1}=\varphi _{2}$ 。于是，在边界任意位置 $\phi =0$ ，上式成立。
诺伊曼边界条件： ${\mathbf {\nabla } }\varphi$ 在曲面边界有定义。因此 ${\mathbf {\nabla } }\varphi _{1}={\mathbf {\nabla } }\varphi _{2}$ 。于是，在边界任意位置 ${\mathbf {\nabla } }\phi =0$ ，上式成立。
修改过的诺伊曼边界条件（也称为罗宾边界条件——其中假设边界都是带有已知电荷的导体）：只需在边界应用高斯定律， ${\mathbf {\nabla } }\varphi$ 也是有定义的。因此，上式成立。
混合边值条件（上述三个条件的组合）：唯一性定理仍然成立。

边界曲面还可以是无穷远的边界（即所求的电势所在的区域没有边界）。在这种情况下，只要上述的曲面积分等于零，唯一性定理仍然成立。举个例子，当被积函数下降的速度比表面积快的时候，该积分趋近于零。

唯一性定理 (泊松方程)

证明

参看

参考文献

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