单态射

在范畴论里，一个态射被称之为单态射，则该态射为一具左消去律的态射。亦即，给定一单态射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$，则对所有的态射${\displaystyle g_{1},g_{2}:Z\rightarrow X}$，均能使得

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

单态射是单射函数（或称为一对一函数）在范畤论里的延伸。单态射的对偶概念为满态射，后者为满射函数的延伸。一态射于范畴 ${\displaystyle C}$ 里为单态射，则该态射于对偶范畴 ${\displaystyle C^{op}}$ 里为满态射。

性质

• 具左反元素的态射必为一单态射。因为，如一态射 ${\displaystyle f}$ 具有一左反元素 ${\displaystyle l}$（即 ${\displaystyle l}$ 为一态射，且${\displaystyle l\circ f=\operatorname {id} _{X}}$），则可知

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

• 不是每一个单态射都会有左反元素。举例来说，在由所有群所组成的范畴Group里，如 ${\displaystyle H}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的子群，则其包含映射 ${\displaystyle f:H\rightarrow G}$ 总会是个单态射；但 ${\displaystyle f}$ 于该范畴里具有一左反元素，当且仅当 ${\displaystyle H}$ 在 ${\displaystyle G}$ 里有一正规补群。

• 如态射 ${\displaystyle f}$ 的左反元素为一态射 ${\displaystyle l}$ ，则态射 ${\displaystyle f}$ 为态射 ${\displaystyle l}$ 的右反元素，并称 ${\displaystyle f}$ 为 ${\displaystyle l}$ 的截面，${\displaystyle l}$ 为f 的收缩。每个截面都会是个单态射，且每个收缩都会是个满态射。

• 一态射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 为单态射，当且仅当对所有的 ${\displaystyle Z}$，定义一个映射 ${\displaystyle f_{*}:\hom(Z,X)\rightarrow \hom(Z,Y)}$， 使得对所有的态射${\displaystyle h:Z\rightarrow X}$，${\displaystyle f_{*}(h)=f\circ h}$，则其映射必为单射。

• 在具体范畴里，每个为单射函数的态射均为单态射；换句话说，当态射实际上为集合间的函数时，一态射如为一对一函数，则该态射必为单态射。

• 在集合范畴里，每个单态射也会是个单射态射。该叙述在大多数可于代数里自然产生的范畴里也都成立，如在由所有群组成的范畴、由所有环组成的范畴，及所有的阿贝尔范畴里，每个单态射都会是个单射态射。

• 不是在所有的具体范畴里，每个单态射都会是个单射态射。举例来说，在由可除交换群所组成的范畴里，其中即存在着为单态射，但不为单射态射的群同态，如商映射${\displaystyle q:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$（其中的 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 为由有理数在加法运算下所组成的群，${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 为由整数在加法运算下所组成的群，且 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ 为其商群)不是单射（因为每个整数都会映射至0），但为单态射。

另见

• 嵌入 (数学)
• 子对象（英语：Subobject）

参考资料

• George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
• Francis Borceux (1994), Handbook of Categorical Algebra 1, Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
• Monomorphism, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）
• Jaap van Oosten, Basic Category Theory（页面存档备份，存于互联网档案馆）