四分位距

四分位距（英语：interquartile range, IQR）。是描述统计学中的一种方法，以确定第三四分位数和第一四分位数的差（即${\displaystyle Q_{1},\ Q_{3}}$的差距）^[1]。与方差、标准差一样，表示统计资料中各变量分散情形，但四分差更多为一种稳健统计（robust statistic）。

四分位差（英语：Quartile Deviation, QD），是${\displaystyle Q_{1},Q_{3}}$的值差的一半，即${\displaystyle \mathrm {QD} ={\frac {Q_{3}-Q_{1}}{2}}}$。

定义

四分位距通常是用来构建箱形图，以及对概率分布的简要图表概述。对一个对称性分布数据（其中位数必然等于第三四分位数与第一四分位数的算术平均数），二分之一的四分差等于绝对中位差（MAD）。中位数是聚中趋势的反映^[2]。

${\displaystyle \mathrm {IQR} =Q_{3}-Q_{1}}$

举例

图示中箱形图（有四分位数及四分位距）和概率密度函数 为描述一个常规总量 N(0,1σ²)的分布情况

图表中的数据

数列	参数	四分差
1	102
2	104
3	105	${\displaystyle Q_{1}}$
4	107
5	108
6	109	${\displaystyle Q_{2}}$（中位数）
7	110
8	112
9	115	${\displaystyle Q_{3}}$
10	118
11	118

从这个图示中，我们可以算出四分差的距离为${\displaystyle 115-105=10}$。

箱形图中的数据

                            +-----+-+    
  o           *     |-------|     | |---|
                            +-----+-+    
                                         
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+   数列
0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12

从该图中我们可算出:

• 第一四分位数${\displaystyle (Q_{1},x_{0.25})=7}$
• 中位数（第二四分位数）${\displaystyle (\mathrm {Med} ,x_{0.5})=8.5}$
• 第三四分位数${\displaystyle (Q_{3},x_{0.75})=9}$
• 四分位距${\displaystyle \mathrm {IQR} =Q_{3}-Q_{1}=2}$
• 四分位差${\displaystyle \mathrm {QD} ={\frac {Q_{3}-Q_{1}}{2}}=1}$

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