圆形函数

拓扑学和微积分中，圆形函数（round function）是流形M上的标量函数${\displaystyle M\to {\mathbb {R} }}$，其临界点形成连通分量，每个都同胚于圆${\displaystyle S^{1}}$，因此也叫临界环。圆形函数是莫尔斯–博特函数的特例。

黑色圆圈就是其中一个临界环。

例子

例如，令M为环面；

${\displaystyle K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).\,}$

则知映射${\displaystyle X\colon K\to \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,}$

是几乎所有M的参数化。现在，将函数${\displaystyle \pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }}$限制在M上

${\displaystyle G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} },(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta \,}$

${\displaystyle G=G(\theta ,\phi )=\sin \theta }$是临界集定义为

${\displaystyle {\rm {grad}}\ G(\theta ,\phi )=\left({{\partial }G \over {\partial }\theta },{{\partial }G \over {\partial }\phi }\right)\!\left(\theta ,\phi \right)=(0,0)}$

的函数，当且仅当${\displaystyle \theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}}$。

${\displaystyle \theta }$这两个值给出临界集

${\displaystyle X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,}$

${\displaystyle X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,}$

代表环面M上的两个极值圆。 注意此函数的黑塞矩阵是

${\displaystyle {\rm {hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}}$

这清楚地表明，在标记圆处${\displaystyle {\rm {rank}}({\rm {hess}}(G))=1}$、使临界点退化；也就是说，这表明临界点不是孤点。

圆复杂度

模仿LS范畴论，可以定义流形上是否存在圆形函数和/或临界环的最小数目的圆复杂度。

参考文献

• Siersma and Khimshiasvili, On minimal round functions, Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, pp. 18.[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）. An update at [2]