圆判据

圆判据（circle criterion）是非线性控制及稳定性理论中，针对非线性时变系统的稳定性判据。可以视为是针对线性时不变系统（LTI）的奈奎斯特稳定判据之扩展版本。

简介

考虑一个线性系统，但有非线性的回授，也就是在回授路径上有非线性元素${\displaystyle \varphi (v,t)}$，假设此元素满足区间条件${\displaystyle [\mu _{1},\mu _{2}]}$（即${\displaystyle \mu _{1}v\leq \varphi (v,t)\leq \mu _{2}v,\ \forall v,t}$），而且（为了简化系统）开回路系统稳定。则闭回路系统全域渐近稳定的条件是线性系统的尼奎斯特轨迹不会穿过以X轴上线段${\displaystyle [-1/\mu _{1},-1/\mu _{2}]}$为直径的圆。

一般叙述

考虑非线性系统

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {Ax} +\mathbf {Bw} ,}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Cx} ,}$

${\displaystyle \mathbf {w} =\varphi (v,t).}$

假设

1. ${\displaystyle \mu _{1}v\leq \varphi (v,t)\leq \mu _{2}v,\ \forall v,t}$
2. ${\displaystyle \det(i\omega I_{n}-A)\neq 0,\ \forall \omega \in R^{-1}{\text{ and }}\exists \mu _{0}\in [\mu _{1},\mu _{2}]\,:\,A+\mu _{0}BC}$ is stable
3. ${\displaystyle \Re \left[(\mu _{2}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B-1)(1-\mu _{1}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B)\right]<0\ \forall \omega \in R^{-1}.}$

则存在${\displaystyle \exists c>0,\delta >0}$使得针对系统的任意解，下式都成立；

${\displaystyle |x(t)|\leq ce^{-\delta t}|x(0)|,\ \forall t\geq 0.}$

条件3称为“频率条件”，条件1称为“区间条件”。

相关条目

• 波波夫判据

参考资料

• Haddad, Wassim M.; Chellaboina, VijaySekhar. Nonlinear Dynamical Systems and Control: a Lyapunov-Based Approach.. Princeton University Press. 2011. ISBN 9781400841042.

外部链接

• Sufficient Conditions for Dynamical Output Feedback Stabilization via the Circle Criterion
• Popov and Circle Criterion (Cam UK)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Popov and Circle Criterion (ETH)
• Stability analysis using the circle criterion in Mathematica（页面存档备份，存于互联网档案馆）