埃尔米特多项式

在数学中，埃尔米特多项式（Hermite polynomials）是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。

定义

前六个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像。

埃尔米特多项式有两种常见定义。

第一种是概率论中较为常用的形式（记作：${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)}$）：

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}$

另一种是物理学中较为常用的形式（记作：${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)}$）：

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}$

物理学舍弃了常系数0.5，两定义之间的关系是：

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x).\,\!}$

概率论中常用第一种定义，因为${\displaystyle {\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}}$是标准正态分布函数（数学期望等于0，标准差等于1）的概率密度函数。

前六个（物理学中的）埃尔米特多项式的图像。

前六个概率学和物理学中的埃尔米特多项式

序号	概率学	物理学
${\displaystyle H_{0}(x)}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle 1\,}$
${\displaystyle H_{1}(x)}$	${\displaystyle x\,}$	${\displaystyle 2x\,}$
${\displaystyle H_{2}(x)}$	${\displaystyle x^{2}-1\,}$	${\displaystyle 4x^{2}-2\,}$
${\displaystyle H_{3}(x)}$	${\displaystyle x^{3}-3x\,}$	${\displaystyle 8x^{3}-12x\,}$
${\displaystyle H_{4}(x)}$	${\displaystyle x^{4}-6x^{2}+3\,}$	${\displaystyle 16x^{4}-48x^{2}+12\,}$
${\displaystyle H_{5}(x)}$	${\displaystyle x^{5}-10x^{3}+15x\,}$	${\displaystyle 32x^{5}-160x^{3}+120x\,}$

性质

多项式H_n 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2ⁿ。

正交性

多项式H_n 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!}$   （概率论）

${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!}$   （物理学）

也就是说，当m ≠ n 时：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0}$

除此之外，还有：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {prob} }(x)H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}\delta _{mn}}$   （概率论）

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {phys} }(x)H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=n!\,2^{n}{\sqrt {\pi }}\delta _{mn}}$   （物理学）

其中${\displaystyle \delta _{mn}}$是克罗内克函数。

从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

完备性

在所有满足

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,w(x)\,\mathrm {d} x<\infty }$

的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,\mathrm {d} x}$

埃尔米特微分方程

概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

${\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0}$

方程的边界条件为：${\displaystyle u}$应在无穷远处有界。

其中${\displaystyle \lambda }$是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取${\displaystyle \lambda }$∈${\displaystyle \mathbb {N} }$。对于一个特定的本征值${\displaystyle \lambda }$，对应着一个特定的本征函数解，即${\displaystyle H_{\lambda }^{prob}(x)}$。

而物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0}$

其本征值同样为${\displaystyle \lambda }$∈${\displaystyle \mathbb {N} }$，对应的本征函数解为${\displaystyle H_{\lambda }^{phys}(x)}$。

以上两个微分方程都称为埃尔米特方程。

参考文献

• Arfken, Mathematical Methods for Physicists
• B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
• Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 4.
• Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience, 1953.
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol. II, McGraw-Hill, 1955
• Fedoryuk, M.V., H/h046980, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）.
• Szegő, Gábor, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 1939, 1955 请检查|date=中的日期值 (帮助)
• Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis 4th Edition. London: Cambridge University Press. 1962. 引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, Wiley, New York, 1996

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 埃尔米特多项式. MathWorld.