埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法（古希腊语：κόσκινον Ἐρατοσθένους，英语：sieve of Eratosthenes），简称埃氏筛，是一种用来生成（英语：Generating primes）素数的筛法，得名于古希腊数学家埃拉托斯特尼。其基本步骤是从最小的素数2开始，将该素数的所有倍数标记成合数，而下一个尚未被标记的最小自然数3即是下一个素数。如此重复这一过程，将各个素数的倍数标记为合数并找出下一个素数，最终便可找出一定范围内所有素数。

埃拉托斯特尼筛法可能在埃拉托斯特尼的时代之前就已经为人所知^[1]^:14，并记载于另一位古希腊数学家尼科马库斯的《算术概论（英语：Introduction to Arithmetic）》中，尽管该著作中的这一筛法是从3开始，从奇数中依次筛去奇数的倍数，而非从自然数中筛去素数的倍数^[2]^:242-243。

使用埃拉托斯特尼筛法找出120以内的所有素数。由于11²=121>120，当11成为最小的未标记整数时，尚未标记的所有数皆可确认为素数。请注意到在标记时直接从每个素数的平方开始。

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运用与示例

埃拉托斯特尼筛法通过不断地标记当前素数的所有倍数为合数，从而取得最小的未标记整数为下一个素数。不过，在实际使用此筛法寻找一个范围内的素数时，不需要检查范围内所有整数，也不需要对每个素数都标记其所有的倍数。

寻找 $N$ 以内的素数时，若找到了一个大于 ${\sqrt {N}}$ 的素数，则剩余的所有尚未标记的数也都是素数。
证明：若这些尚未标记的数中有任意一个为合数，设之为 $m$ ，则 $m$ 必定是除1与自身以外的两个因数的乘积。但既然 $m$ 尚未被标记，则所有小于等于 ${\sqrt {N}}$ 的数均不是 $m$ 的因数。故这两个因数必然都大于 ${\sqrt {N}}$ ，则 $m$ 不可能在 $N$ 以内^[3]^:103-104^[4]^:4。
标记某一素数 $p$ 的倍数时，不需要每次皆从 $2p,3p,\ldots$ 开始，而可直接从 $p^{2}$ 开始标记。
证明：所有较 $p^{2}$ 更小的 $p$ 的倍数必然拥有一个更小的素数为其因数，故在标记之前的素数的倍数时它们已经被标记过了^[5]。

若要找出25以内的所有素数，使用如上述改进过的埃拉托斯特尼筛法的具体过程如下：

列出2以后所有数：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
记录质数2，由2²=4开始划去2的倍数：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
记录下一质数3，由3²=9开始划去3的倍数：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
记录下一质数5，由5²=25开始划去5的倍数：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
下一质数为7，而7²=49>25，故剩余所有未标记的数皆为质数：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

由此得到25内的质数为2，3，5，7，11，13，17，19，23。

以上的算法可用以下伪代码表示：

输入：整数n > 1
 
设A为布尔值矩阵，下标是2至n的整数，
初始时全部设成true。
 
 for i = 2, 3, 4, ..., 不超过 ${\sqrt {n}}$ ：
  if A[i]为true：
    for j = i², i²+i, i²+2i, i²+3i, ..., 不超过n：
      A[j] := false
 
输出：使A[i]为true的所有i。

埃拉托斯特尼筛法的时间复杂度为 $O(n\log(\log n))$ ；相比之下，若是通过对范围内每个整数进行试除法来找出范围内的素数，则其时间复杂度为 $O(n{\sqrt {n}})$ ^[1]^:13-14^[5]。

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代码

Python 3.6-3.10

def eratosthenes(n):
    is_prime = [True] * (n + 1)
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False
    return [x for x in range(2, n + 1) if is_prime[x]]
print(eratosthenes(120))

C语言

int prime[100005];
bool is_prime[1000005];

int eratosthenes(int n) {
    int p = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        is_prime[i] = true;
    }
    is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            prime[p++] = i;
            if (1ll * i * i <= n) {
                for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                    is_prime[j] = 0;
                }
            }
        }
    }
    return p;
}

C语言新版

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

/* N: positive integer
   verbose: 1 -- print all prime numbers < N, 0 -- no print
   return total number of prime numbers < N. 
   return -1 when there is not enough memory.
*/
int eratosthenesSieve(unsigned long long int N, int verbose) {
  // prime numbers are positive, better to use largest unsiged integer
  unsigned long long int i, j, total; // total: number of prime numbers < N
  _Bool *a = malloc(sizeof(_Bool) * N);

  if (a == NULL) {
    printf("No enough memory.\n");
    return -1;
  }
  
  /* a[i] equals 1: i is prime number.
     a[i] equals 0: i is not prime number.
     From beginning, set i as prime number. Later filter out non-prime numbers
  */
  for (i = 2; i < N; i++) {
    a[i] = 1; 
  }

  // mark multiples(<N) of i as non-prime numbers
  for (i = 2; i < N; i++) {
    if (a[i]) { // a[i] is prime number at this point
      for (j = i; j < (N / i) + 1; j++) {
	/* mark all multiple of 2 * 2, 2 * 3, as non-prime numbers;
	   do the same for 3,4,5,... 2*3 is filter out when i is 2
	   so when i is 3, we only start at 3 * 3
	*/
	a[i * j] = 0;
      }
    }
  }

  // count total. print prime numbers < N if needed.
  total = 0;
  for (i = 2; i < N; i++) {
    if (a[i]) { // i is prime number
      if (verbose) {
	printf("%llu\n", i);
      }
      total += 1;
    }
  }

  return total;
}

int main() {
  unsigned long long int a1 = 0, a2 = 0, N = 10000000;
  
  a1 = eratosthenesSieve(N, 1); // print the prime numbers
  printf("Total of prime numbers less than %llu is : %llu\n", N, a1);
  
  a2 = eratosthenesSieve(N, 0); // not print the prime numbers
  printf("Total of prime numbers less than %llu is : %llu\n", N, a2);
  
  return 0;
}

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C++

#include <vector>

auto eratosthenes(int upperbound) {
  std::vector<bool> flag(upperbound + 1, true);
  flag[0] = flag[1] = false; //exclude 0 and 1
  for (int i = 2; i * i <= upperbound; ++i) {
    if (flag[i]) {
      for (int j = i * i; j <= upperbound; j += i)
        flag[j] = false;
    }
  }
  return flag;
}

R

eratosthenes <- function(n) {
  if (n == 1) return(NULL)
  if (n == 2 | n == 3) return(2:n)
  numbers <- 2:n
  primes <- rep(TRUE, n-1)
  for (i in 2:floor(sqrt(n))) {
    if (primes[i-1]) {
      for (j in seq(i * i, n, i))
        primes[j-1] <- FALSE
    }
  }
  return(numbers[primes])
}

JavaScript

const countPrimes = function (n) {
  const isPrime = new Array(n).fill(true);

  for (let i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {
    if (isPrime[i]) {
      for (let j = i * i; j <= n; j += i) {
        isPrime[j] = false;
      }
    }
  }

  let count = 0;
  for (let i = 2; i < n; i++) {
    if (isPrime[i]) {
      count++;
    }
  }

  return count;
};

参见

参考文献

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拓展阅读

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