埃尔德什-施特劳斯猜想

埃尔德什-施特劳斯猜想（Erdős–Straus conjecture），简称埃尔德什猜想，是由匈牙利犹太数学家保罗·埃尔德什与德裔美国数学家恩斯特·施特劳斯（英语：Ernst G. Straus）于1948年共同提出的数论猜想，其陈述为：

对于任何一个大于1的整数${\displaystyle n}$，都有

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}}$ 。其中${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$为正整数。

例如，若n = 1801，则存在一组 x = 451、y = 295364、z = 3249004 的解，使得

${\displaystyle {\frac {4}{1801}}={\frac {1}{451}}+{\frac {1}{295364}}+{\frac {1}{3249004}}}$

在基本式子中，只需考虑 n = p 为素数的情况，因为若

${\displaystyle {\frac {4}{p}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.}$

成立，则对于大于 1 的整数 m

${\displaystyle {\frac {4}{pm}}={\frac {1}{xm}}+{\frac {1}{ym}}+{\frac {1}{zm}}}$

也会成立。

计算机已经验证到 n ≤ 10¹⁷ 的情况^[1]，但此猜想还是有待证明。

埃尔德什猜想的特别形式

• ${\displaystyle {\frac {4}{p}}={\frac {1}{a\times b}}+{\frac {1}{a\times c}}+{\frac {1}{a\times b\times c\times p}}}$

例如

${\displaystyle {\frac {4}{409}}={\frac {1}{63\times 2}}+{\frac {1}{63\times 13}}+{\frac {1}{63\times 2\times 13\times 409}}}$

参见

• 古埃及分数