底数 (进制)

底数（radix， base）又称数基^[1]、基数、基值、根值^[2]、记数根^[3]，是指进位制中用以乘每个数位而得有效值的数；如十进制数的底数为 10，而二进制数的底数为 2。底数（数基）属于记数系统所使用的一种数字表示符号。

在进位制系统中，若要表示一个数字的底数和值，会用(x)_y表示，x是每一位数字组合成的字符串，y是底数，十进制是最常用的，因此会省略底数以及字符串前后的括号。例如(100)₁₀也可以表示为100（后者省略其进制），表示一百，而(100)₂（底数为2，是二进制）表示数字4^[4]。

进位制和底数

以13进制的系统为例，398表示的数字是（十进制下的）3 × 13² + 9 × 13¹ + 8 × 13⁰ = 632。

若是在b进制（b > 1）下，各位数数字是d₁ … d_n的数，其值为 d₁bⁿ⁻¹ + d₂bⁿ⁻² + … + d_nb⁰，其中 0 ≤ d_i < b.^[4]。在十进制中，有个位数、十位数、百位数……等，而在b进制中，有个位数、b¹位数、b²位数……等^[5]。

常用的进制系统有：

底数	名称	描述
2	二进制	是绝大多数电子计算机中使用的进制。二个数字分别是"0"和"1"，可以以用开关关闭或开启来表示。大部分的电子计数器都使用二进制。
8	八进制	有时会在运算时使用。八个数字分别是"0"–"7"，表示三个位元（23）。
10	十进制	全世界最常使用的进制系统，一般运算也是用十进制来表示。十个数字分别是"0"–"9"。用在大部分的机械计数器（英语：mechanical counter）上。
12	十二进制	因为底数可以被2、3、4和6整除，有些情形上使用很方便。传统上有些数量用打或箩表示的，即使用了十二进制。
16	十六进制	十六进制可以用比较简洁的方式表示二进制（十六进制的一个数字代表二进制的四个位元），常用在电脑中。十个数字分别是"0"–"9"，以及"A"–"F"（或"a"–"f"） 而且可以表示颜色。
20	二十进制	有些文化传统上会使用二十进制，有些文化在计数时仍会用到，有些会用score表示20。
60	六十进制	源起于古苏美尔，后来传到巴比伦尼亚[6]。现今表示角度的度分秒系统，以及表示时间的时分秒系统都有使用六十进制。

二进制的数字可以轻松的转换为八进制和十六进制的数字，而且数字长度较短。十六进制的一个数字表示二进制的四位数字。例如十六进制的78₁₆，在二进制下是1111000₂。而八进制的一个数字也可以表示二进制的三位数字。

正整数在特定进制下的表示法是唯一的。令b大于一的正整数，则每一个正整数a都可以以以下形式表示，而且不会和其他的正整数重复：

${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$

其中m是非负整数，r是整数，使得

0 < r_m < b and 0 ≤ r_i < b for i = 0, 1, ... , m − 1.^[7]

底数多半是自然数，不过也有一些进制的底数不是整数，例如黄金进制（底数是非整数的代数数^[8]）、负底数（英语：negative base）（底数为负）^[9]。 负底数可以在不使用负号的情形下表示负数。例如，若b = −10，则该进制下的19对应十进制下的1 × (−10)¹ + 9 × (−10)⁰ = −1。

广义的底数

底数亦可以解释为进位制系统进位的时机，当底数为b时，则该进制每逢b则进位一次。例如十进制底数为10，故数字每逢十就进位一次，也就是说9的下一个数将会进位到十位数，又例如八进制底数为8，故7的下一个数则逢8，进位成10₍₈₎。

此定义可以将底数推广到非整数进制中，例如黄金进制底数为黄金比例，故黄金比例这个数在黄金进制中表达为10，因为已“逢黄金比例”因此进位到第二位数。

相关条目

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