墨卡托级数

在数学内，墨卡托级数（Mercator series）或者牛顿-墨卡托级数（Newton–Mercator series）是一个自然对数的泰勒级数：

${\displaystyle \ln(1+x)\;=\;x\,-\,{\frac {x^{2}}{2}}\,+\,{\frac {x^{3}}{3}}\,-\,{\frac {x^{4}}{4}}\,+\,\cdots .}$

使用大写sigma表示则为

${\displaystyle \ln(1+x)\;=\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.}$

当 −1 < x ≤ 1时，此级数收敛于自然对数（加了1）。

历史

这级数被尼古拉斯·墨卡托、艾萨克·牛顿和格雷戈里·圣文森（Gregory Saint-Vincent）分别独立发现。首先被墨卡托出版于其1668年时的著作Logarithmo-technica。

推导

这级数可以由泰勒公式导出，借由不断地计算第n次ln x在x = 1时的微分，一开始是

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$

或者，我们可以从有限的等比数列开始(t ≠ −1)

${\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}$

这可以导出

${\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.}$

然后得到

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\,dt}$

接着逐项积分，

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\,dt.}$

若−1 < x ≤ 1，余项会在${\displaystyle n\to \infty }$时趋近于零。

这个表示法可以重复积分k次，得到

${\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},}$

这里的

${\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}$

和

${\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}$

都是x的多项式。^[1]

特例

令墨卡托级数里面的x = 1，则我们会得到交错调和级数

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.}$

复数级数

下面的复数幂级数

${\displaystyle z\,-\,{\frac {z^{2}}{2}}\,+\,{\frac {z^{3}}{3}}\,-\,{\frac {z^{4}}{4}}\,+\,\cdots }$

是ln(1 + z)的泰勒级数，这里ln代表复对数（complex logarithm）的主要分支（principal branch）。这个级数收敛于一个开放的单位圆盘 |z| < 1 以及圆 |z| = 1 ， z = -1除外 (根据阿贝尔判别法)，而且这里的收敛对每个半径小于一的圆盘是一致的 。