外尔方程式

在量子力学及量子场论等领域，外尔方程式（英语：Weyl Equation）为一相对论量子力学的波动方程式，用以描述无质量的自旋½粒子。其以德国数学家赫尔曼·外尔为名。

方程式

外尔方程式的广义形式可写为：^[1][2]

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

在SI单位中可写为：

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

其中

${\displaystyle \sigma _{\mu }=(\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(I_{2},\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$

为一向量。μ = 0分量为2 × 2 单位矩阵；μ = 1,2,3分量为包立矩阵。ψ则是波函数，为外尔旋量一例。

外尔旋量

其组成有ψ_L与ψ_R，分别为左手（Left-handed）外尔旋量及右手（Right-handed）外尔旋量，各自有两个分量。两者皆有下列形式：

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$

其中

${\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}$

为具有二常数分量之旋量。

既然粒子是不具质量的，亦即m = 0，动量p的范数为波向量k的简单乘积，由德布罗伊关系所描述：

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |=\hbar \omega /c\,\rightarrow \,|\mathbf {k} |=\omega /c}$

方程式可以左手及右手旋量来表示：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}=0\\&{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}=0\end{aligned}}}$

推演

透过拉格朗日密度可得方程式：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{R}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{L}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}}$

将旋量及旋量的埃尔米特伴随（以${\displaystyle \dagger }$标记）当作独立变数处理，则可得外尔方程式。

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