多重指标是数学中一种方便的表示法,它将指标中的单个整数推广为多个整数,它可以简化多元微积分、偏微分方程与分布理论中的计算,也便于操作幂级数。 此条目需要补充更多来源。 (2020年3月7日) 定义与运算 一个 n {\displaystyle n} -维多重指标是一个由整数构成的向量 α = ( α 1 , α 2 , … , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})} 设 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 为多重指标,定义: α ± β := ( α 1 ± β 1 , α 2 ± β 2 , … , α n ± β n ) {\displaystyle \alpha \pm \beta :=(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})} α ≤ β ⇔ α i ≤ β i ∀ i {\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i} | α | = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}} 应用最广的是非负的多重指标,此时可以定义: α ! = α 1 ! ⋅ α 2 ! ⋯ α n ! {\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!} ( α β ) = α ! ( α − β ) ! β ! = ( α 1 β 1 ) ( α 2 β 2 ) ⋯ ( α n β n ) {\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}} (假设 α ≥ β {\displaystyle \alpha \geq \beta } ) 设 x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})} ,定义 x α = x 1 α 1 x 2 α 2 … x n α n {\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}} D α := D 1 α 1 D 2 α 2 … D n α n {\displaystyle D^{\alpha }:=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\ldots D_{n}^{\alpha _{n}}} 其中 D i j := ∂ j / ∂ x i j {\displaystyle D_{i}^{j}:=\partial ^{j}/\partial x_{i}^{j}} 命题。若 i , k {\displaystyle i,k} 是非负的 n {\displaystyle n} 维多重指标,且 x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})} ,则 D i x k = { k ! ( k − i ) ! x k − i i ≤ k 0 i ≰ k {\displaystyle D^{i}x^{k}={\begin{cases}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&i\leq k\\0&i\nleq k\end{cases}}} 按定义直接操作即可证明。 Remove ads应用 多元微积分 多重指标可以将单变元微积分的许多结果直接推广到多变元。以下是几个例子: 多元幂级数:有两个以上变元的幂级数通常写成 s ( x ) = ∑ I a I x I {\displaystyle s(\mathbf {x} )=\sum _{I}a_{I}\mathbf {x} ^{I}} 其中 I {\displaystyle I} 是 n {\displaystyle n} -维多元指标而 x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})} ,以简化冗长的表法 s ( x 1 , … , x n ) = ∑ i 1 , … , i n a i 1 … i n x 1 i 1 ⋯ x n i n {\displaystyle s(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}}a_{i_{1}\ldots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} 多项展开 ( ∑ i = 1 n x i ) k = ∑ | α | = k k ! α ! x α {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}} 莱布尼茨公式:设 u , v {\displaystyle u,v} 存在够高阶的导数,则 D α ( u v ) = ∑ ν ≤ α ( α ν ) D ν u D α − ν v {\displaystyle D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }D^{\nu }u\,D^{\alpha -\nu }v}} 泰勒展开式:对一多元解析函数f,当 | h | {\displaystyle |\mathbf {h} |} 充分小时有下述展开 f ( x + h ) = ∑ | α | ≥ 0 D α f ( x ) α ! h α {\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }} 其实这不外是定义,多元指标在此提供了简练的表示法。 对于存在够高阶导数的函数,我们也有带余项的泰勒展开式: f ( x + h ) = ∑ | α | ≤ n D α f ( x ) α ! h α + R n ( x , h ) {\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}+R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )} 其中的最后一项(余项)有多种表法,例如柯西的积分表法: R n ( x , h ) = ( n + 1 ) ∑ | α | = n + 1 h α α ! ∫ 0 1 ( 1 − t ) n D α f ( x + t h ) d t {\displaystyle R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {\mathbf {h} ^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}D^{\alpha }f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\,dt} Remove ads偏微分算子 一个形式上的 n {\displaystyle n} 变元 N {\displaystyle N} -阶偏微分算子能以多重指标写成 P ( D ) = ∑ | α | ≤ N a α ( x ) D α {\displaystyle P(D)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}} 分部积分:对有界定义域 Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} 上的紧支集光滑函数,我们有 ∫ Ω u ( D α v ) d x = ( − 1 ) | α | ∫ Ω ( D α u ) v d x {\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(D^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(D^{\alpha }u)v\,dx}} 此公式用以定义分布与弱导数。 Remove ads文献 Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9 本条目含有来自PlanetMath《multi-index derivative of a power》的内容,版权遵守知识共享协议:署名-相同方式共享协议。 Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads