余式定理

多项式余式定理（英语：Polynomial remainder theorem）是指一个多项式${\displaystyle P(x)}$除以一线性多项式${\displaystyle x-a}$的余式是${\displaystyle P(a)}$。^[1]

定义

我们可以一般化多项式余式定理。如果${\displaystyle {\frac {P(x)}{M(x)}}}$的商式是${\displaystyle Q(x)}$、余式是${\displaystyle R(x)}$，那么${\displaystyle P(x)=M(x)Q(x)+R(x)}$。其中${\displaystyle R(x)}$的次数会小于${\displaystyle M(x)}$的次数。例如，${\displaystyle {\frac {5x^{3}+4x^{2}-12x+1}{x-3}}}$的余式是${\displaystyle 5\cdot 3^{3}+4\cdot 3^{2}-12\cdot 3+1=136}$。又可以说是把除式的零点代入被除式所得的值是余式。

至于除式为2次以上时，可将n次除式的${\displaystyle n}$根${\displaystyle a,b,c,\cdots }$列出联立方程：

${\displaystyle P(a)=R(a),P(b)=R(b),P(c)=R(c),\cdots }$

其中${\displaystyle P}$是被除式，${\displaystyle R}$是余式。

此方法只可用在除式不是任一多项式的${\displaystyle n}$次方。

推导

多项式余式定理可由多项式除法的定义导出.根据多项式除法的定义，设被除式为${\displaystyle f(x)}$，除式为${\displaystyle g(x)}$，商式为${\displaystyle q(x)}$，余式为${\displaystyle r(x)}$，则有：

${\displaystyle f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)}$

如果${\displaystyle g(x)}$是一次式${\displaystyle x-a}$，则${\displaystyle r(x)}$的次数小于一，因此，${\displaystyle r(x)}$只能为常数，这时，余式也叫余数，记为${\displaystyle r}$，即有：

${\displaystyle f(x)=(x-a)\cdot q(x)+r}$

根据上式，当${\displaystyle x=a}$时，有：

${\displaystyle f(a)=(a-a)\cdot q(a)+r=r}$

因此，我们得到了余式定理：多项式${\displaystyle f(x)}$除以${\displaystyle x-a}$所得的余式等于${\displaystyle f(a)}$。

参见

• 数学主题

• 中国剩余定理