奇异数 (数论)

在数论中，奇异数（或称奇怪数）是指不是半完全数的丰数，^[1] 也就是说此自然数之所有真约数（即小于此自然数之正约数）之和比此数自身大（丰数的定义），但其真约数不论如何组合，其和都不等于此自然数（因此不是半完全数）。

许多的丰数都是半完全数，如12的真约数有1, 2, 3, 4, 6，总和为16>12，因此为一丰数，但2+4+6=12，因此12也是半完全数，大多数的丰数都可以找到部分真约数，使其和等于本身。若丰数的真约数和都不等于本身，即为奇异数。

举例

最小的奇异数是70，其真约数有1, 2, 5, 7, 10, 14及35，总和为74，其中无法找到一组子集合，使其总和为70。因此70是奇异数。

奇异数有无穷多个，最小的一些奇异数是：70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, ... （OEIS数列A006037）。

性质

存在无限多个奇异数^[2]。例如，70p为奇异数，针对大于等于149的素数p都成立。实际上，奇异数集合的自然密度为正值^[3]。

目前已知的奇异数均为偶数，还不确定是否存在奇数的奇异数，若其存在，其数值必大于10²¹。^[4]

Sidney Kravitz证明针对正整数k，Q是超过2^k的素数，且

${\displaystyle R={\frac {2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^{k}}}}$

也是2^k的素数，则

${\displaystyle n=2^{k-1}QR}$

是奇异数^[5]。

Sidney Kravitz根据此公式，找到最大的奇异数

${\displaystyle n=2^{56}\cdot (2^{61}-1)\cdot 153722867280912929\ \approx \ 2\cdot 10^{52}.}$