奇异积分

奇异积分（singular integral）为一数学名词，是傅里叶分析的中心概念，和偏微分方程的研究有密切关系。奇异积分是指以下的积分变换：

${\displaystyle T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}$

其中核函数K : Rⁿ×Rⁿ → Rⁿ在x = y时为奇点，而且当|x − y| 趋近 0时，使得|K(x, y)|的大小渐近趋近|x − y|⁻ⁿ。由于这类积分多半不一定是绝对可积的，因此需针对ε 趋近 0的条件下，在|y − x| > ε区域内的积分极限进行严谨的定义，不过在实务上这只是技术细节而已。若要获得其他结果，例如L^p(Rⁿ)里的有界，还需要有其他的假设。

希尔伯特转换

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希尔伯特转换H就是典型的奇异积分算子，是和核函数K(x) = 1/(πx)的卷积，更准确的说法是

${\displaystyle H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.}$

最直接的高维类比是里斯变换（英语：Riesz transform），将K(x) = 1/x改成

${\displaystyle K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}}$

其中i = 1, ..., n，而${\displaystyle x_{i}}$是x的第i的分量，x在Rⁿ内。这些算子都在L^p内有界，也满足弱型态(1, 1)估测^[1]。