奇点 (数学)

在数学中，奇点或奇异点（英语：Singularity），是数学对象中无法定义的点。一般来说，可以分成两种状况：

• 这个点的值在数学上没有定义。例如，一个除以零的点。函数${\displaystyle f(x)=1/x}$在${\displaystyle x=0}$的点，是一个奇点；这个点有个性质－它趋向于无限。然而，在数学中，无限的值是没有定义的。在物理中，也尽量避免或除去导致无限的点，虽然在宇宙学中有引力奇点（黑洞奇点）。
• 或者，在某方面来说，这个点破坏了该数学对象的整体一致性。这个点被称为病态的，是良态的反义。一般的例子是：
  • 光滑的曲线或平面（光滑函数）上的尖点，它破坏了该函数的可微性。
  • 连续的曲线中一个断掉的点，它破坏了该曲线的连续性。

不可微的点

就可微性来说：

• 曲线${\displaystyle y^{2}=x}$在${\displaystyle x=0}$的点是该曲线的奇点，因为该点的切线是垂直的。垂直切线（vertical tangent）的斜率是无限，所以该点不可微。
• 绝对值函数${\displaystyle f(x)=\left|x\right|}$在${\displaystyle x=0}$的点是该函数的奇点，因为在该点上无法决定斜率，所以该点不可微。
• 代数集合${\displaystyle \{(x,y):\left|x\right|=\left|y\right|\}}$在${\displaystyle x=0}$的点是奇点，因为该点不可微。

不连续的点

主条目：不连续点

在实变量分析中，奇点是不连续点，或是导数的不连续点。

复分析

在复分析中，有四类奇点，如下所述。假定U为复数集C的一个开子集，a是U内的一元素，而f为定义在去心邻域U \ {a}下的复可微函数。

• 孤立奇点：假定f即使定义在U \ {a}，但未定义于a。
  • 可去奇点
  • 极点
  • 本性奇点
• 分支点：扼要的说，支点通常是多值函数的支割线的结果，诸如${\displaystyle {\sqrt {z}}}$或${\displaystyle \log {z}}$定义在确实的范围内，使得它的呈现如同单值函数。
• 非孤立奇点

参见

• 渐近线
• 连续
• 定义与未定义
• 无限
• 微分方程式的奇解
• 奇点 (几何)

外部链接

• Q: What are singularities? Do they exist in nature?（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• PhysicsForums > Singularity (Wikipedia and Mathworld definitions)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Wolfram MathWorld > Singularity（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Collected Papers of Salomon Bochner, Singularities and Discontinuities（页面存档备份，存于互联网档案馆）