孪生素数猜想

孪生素数猜想（英语：Twin prime conjecture）是数论中的一个未解决问题。这个猜想正式由大卫·希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：

存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。

其中，素数对(p, p + 2)称为孪生素数。

在1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p, p + 2k)。k = 1的情况就是孪生素数猜想。

哈代-李特尔伍德猜测

1921年，英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代和约翰·恩瑟·李特尔伍德提出了以下的猜想：设 ${\displaystyle \pi _{2}(N)}$ 为前N个自然数里孪生素数的个数。那么

${\displaystyle \pi _{2}(N)\approx \int _{2}^{N}{\frac {\mathrm {d} t}{(\ln t)^{2}}}\approx 2C_{twin}\ {\frac {N}{\ln ^{2}N}}}$

其中的常数${\displaystyle C_{twin}}$是所谓的孪生素数常数：

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{twin}&=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{10^{2}}}\right)\cdots \ =\prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\\&=0.6601618158468695739278121\ldots \end{aligned}}}$

其中的p表示素数。

最新进展

2013年5月14日，《自然》杂志报道，数学家张益唐证明存在无穷多个素数对相差都小于7000万^[1]，可以用数式表示为

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<7\times 10^{7}}$

此处“${\displaystyle p_{n}}$”是第n个素数，“${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}}$”是素数间隙。

他的工作是对Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım^[2][3][4]的结果的重要改进。张益唐的论文已被《数学年刊》（Annals of Mathematics）于2013年5月21日接受^[a][5][6][7]。陶哲轩随后开始了一个Polymath计划（英语：Polymath Project），由网上志愿者合作降低张益唐论文中的上限。^[8]截至2014年4月，即张益唐提交证明之后一年，上限已降至246。^[9]