安培力定律

在静磁学里，安培力定律专门描述两条载流导线相互作用的吸引力或排斥力，又称为安培力，是由载流导线的电流所产生的磁场（根据毕奥-萨伐尔定律），与对方的移动电荷的速度耦合而形成的洛伦兹力。安培力定律是因安德烈-马里·安培而命名。

此条目的主题是两条载流导线相互作用的力的定律。关于描述载流导线与其产生的磁场之间的关系，请见“安培定律”。

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小则用 ${\displaystyle r\,\!}$ 来表示。

安德烈-马里·安培。

两条载流导线以磁场力相互吸引对方。下方导线载有电流 ${\displaystyle I_{1}\,\!}$ 。这会产生磁场 ${\displaystyle B_{1}\,\!}$ 。上方导线载有电流 ${\displaystyle I_{2}\,\!}$ ，因为处于这磁场 ${\displaystyle B_{1}\,\!}$ ，会感受到洛伦兹力 ${\displaystyle F_{12}\,\!}$ 。（没有展示出的是同步的程序：上方导线产生的磁场，会使得下方导线感受到大小相等、方向相反的磁场力。）

另外一副关于洛伦兹力定律的绘图，显示出电路 1 的电流 ${\displaystyle I_{1}\,\!}$ ，通过磁场 ${\displaystyle B_{1}\,\!}$ ，施加作用力 ${\displaystyle F_{12}\,\!}$ 于电路 2 , 反之亦然。

公式

设定两条细直、无限长、固定的、相互平行的载流导线，则在自由空间内，任意一条导线施加于对方的每单位长度作用力 ${\displaystyle f_{m}\,\!}$ 是^[1]

${\displaystyle f_{m}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi r}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$ 是真空磁导率，${\displaystyle I_{1}\,\!}$ 、${\displaystyle I_{2}\,\!}$ 分别是流动于两条导线的电流，${\displaystyle r\,\!}$ 是两条导线之间的垂直距离。

采用国际单位制，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$ 值定义为^[2]

${\displaystyle \mu _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 4\pi \times 10^{-7}\ \,\!}$ 牛顿 / (安培)²。

假设每一条导线都载有 ${\displaystyle 1\,\!}$ 安培，两条导线相隔 ${\displaystyle 1\,\!}$ 米，则作用于每一条导线的每单位长度的磁力为 2 × 10⁻⁷ 牛顿／米。

更一般性的，能够适用于更多案例的方程，可以用二重线积分来表达^{[3] [4][5]}：

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ (d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{12})}{r_{12}^{2}}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {F} _{12}\,\!}$ 是导线 1 施加于导线 2 的作用力，${\displaystyle I_{1}\,\!}$ 和 ${\displaystyle I_{2}\,\!}$ 分别是流动于导线 1 和导线 2 的电流，${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\,\!}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\,\!}$ 分别是导线 1 和导线 2 的线积分路径，${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\,\!}$ 和 ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!}$ 分别是 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\,\!}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\,\!}$ 的微小线元素，${\displaystyle \mathbf {r} _{12}\,\!}$ 是从 ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{1}\,\!}$ 指向 ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!}$ 的矢量，${\displaystyle r_{12}\,\!}$ 是其大小，${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{12}\,\!}$ 是其单位矢量。

从毕奥-萨伐尔定律和洛伦兹力定律推导出安培力定律

根据毕奥-萨伐尔定律，导线 1 的磁场在微小线元素 ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!}$ 位置是

${\displaystyle \mathbf {B} _{1}={\frac {\mu _{0}I_{1}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\ {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times {\hat {\mathbf {r} }}_{12}}{r_{12}^{2}}}\,\!}$ 。

根据洛伦兹力定律，作用于微小线元素位置 ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!}$ 的洛伦兹力遵守以下方程

${\displaystyle d\mathbf {F} =dq(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\,\!}$ ;

其中，${\displaystyle dq\,\!}$ 是微小电荷，${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$ 是电场。

在这里，电场等于零。所以，

${\displaystyle d\mathbf {F} _{12}=I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\times \mathbf {B} _{1}\,\!}$ 。

表达为积分形式：

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=I_{2}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}\ d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\times \mathbf {B} _{1}\,\!}$ 。

将磁场的公式带入，可以得到

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ (d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{12})}{r_{12}^{2}}}\,\!}$ 。