安德里卡猜想

安德里卡猜想（Andrica's conjecture）是关于质数间的间隙的猜想^[1]，以罗马尼亚数学家多林·安德里卡（西班牙语：Dorin Andrica）的名字命名。

(a) ${\displaystyle A_{n}}$对最初100个质数的值

(b) ${\displaystyle A_{n}}$对最初200个质数的值

(c) ${\displaystyle A_{n}}$对最初500个质数的值

安德里卡猜想对最初(a)100个、(b)200个和(c)500个质数的图像化证明。猜想的内容指称，${\displaystyle A_{n}}$总小于一。

该猜想认为，对于任意的${\displaystyle n}$，下述不等式成立：

${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}$

其中${\displaystyle p_{n}}$是第${\displaystyle n}$个质数。若${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$是第${\displaystyle n}$个质数间隙，那么安德里卡猜想可表述如下：

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1}$

实证证据

伊姆兰·戈里（Imran Ghory）用了大质数间隙的资料，证实了该猜想对大到${\displaystyle 1.3002\times 10^{16}}$的${\displaystyle n}$都成立。^[2]利用最大质数间隙（maximal gap）和质数间隙不等式，可将此结果推广到大到${\displaystyle 4\times 10^{18}}$的${\displaystyle n}$之上。

离散方城${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$呈递减，其中${\displaystyle A_{n}}$的“高水位”标记，出现在${\displaystyle n=1,2,4}$之处，其中${\displaystyle A_{4}\sim 0.670873...}$，而对于最初的${\displaystyle 10^{5}}$个质数而言，没有比这更大的值。由于${\displaystyle A_{n}}$该方程对${\displaystyle n}$呈现非病态递减之故，因此若要在${\displaystyle n}$不断变大的情况下使得这个差变大，一个不断增长的质数间隙是必要的。故该猜想非常可能是正确的，但目前还没有证明。

推广

广义安德里卡猜想对最初100个质数的x的值，并标出x的最小可能解${\displaystyle x_{min}}$的推测位置。

安德里卡猜想的推广会论及以下等式：

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

其中${\displaystyle p_{n}}$是第${\displaystyle n}$个质数，而x是任意正实数。

易证x的最大可能解出现于${\displaystyle n=1}$处，在此处，${\displaystyle x_{max}=1}$；而有猜想认为，x的最小可能解出现于${\displaystyle n=30}$处，在此处，${\displaystyle x_{min}\sim 0.567148...}$。（OEIS数列A038458）

该猜想也可以不等式表述，因此广义安德里卡猜想可表述如下：

对于${\displaystyle x<x_{\min }}$而言，${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$

参见

• 克拉梅尔猜想
• 勒让德猜想
• 菲鲁兹巴赫特猜想