完备群

在数学的群论中，完备群（又称完全群，不过完全群也可以指另一种群^[1]）是指如下的一种群G：G是无中心群，并且G的所有自同构都是内自同构，也就是说G有平凡外自同构群和平凡中心。另一等价定义是将元素${\displaystyle g\in G}$映射到自同构${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$的群同态${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (G)}$是群同构。因为此群同态的核是G的中心，而其像是G的所有内自同构；所以G有平凡中心，则此群同态是单射，而所有自同构都是内自同构，则此群同态是满射。

例子

对称群${\displaystyle S_{n}}$除了n=2,6外，都是完备群。${\displaystyle S_{2}}$有非平凡中心，而${\displaystyle S_{6}}$有一个外自同构（与内自同构复合之异不别）。

性质

任何完备群都同构于其自同构群。注意其逆命题不成立：有8个元素的二面体群同构于其自同构群，这个群却不是完备群。