完全费米—狄拉克积分

完全费米—狄拉克积分，以恩里科·费米和保罗·狄拉克各取一字命名，已知指数j定义如下

${\displaystyle F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\,dt.}$

Fermi-Dirac Integral animation

Fermi-Dirac Integral complex minus

Fermi-Dirac Integral complex

等于

${\displaystyle -\operatorname {Li} _{j+1}(-e^{x}),}$

此处${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$为多重对数函数。

特征值

对j = 0，函数的封闭形式存在：

${\displaystyle F_{0}(x)=\ln(1+\exp(x)).\,}$

当${\displaystyle s=1}$，与多重对数函数的值比较：

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\log(1-z).}$

相关

• 非完全费米—狄拉克积分（英语：Incomplete Fermi–Dirac integral）
• Γ函数
• 多重对数函数

参考文献

Table of Integrals, Series, and Products, I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik, 5th edition, p. 370, formula № 3.411.3.

外部链接

• GNU Scientific Library - Reference Manual（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Fermi-Dirac integral calculator for iPhone/iPad（页面存档备份，存于互联网档案馆）