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完备空间
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完备空间,或称完备度量空间(英語:Complete metric space)是具有下述性质的一种度量空间:空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 [1][2]
此條目需要补充更多来源。 (2017年1月8日) |
例子
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相关定理
- 任一紧致度量空间都是完备的。实际上,一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。
- 完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。
- 若为一集合,是一个完备度量空间,则所有从映射到的有界函数的集合是一个完备度量空间,其中集合中的距离定义为:
- 。
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完备化
对任一度量空间,我们可以构造相应的完备度量空间(或者表示为),使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。具备以下普适性质:若为任一完备度量空间,为任一从到的一致连续函数,则存在唯一的从到的一致连续函数使得该函数为的扩展。新构造的完备度量空间在等距同构意义下由该性质所唯一决定,称为的完备化空间。
以上定义是基于是的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间。可以证明,这样定义的完备化空间存在,唯一(在等距同构意义下),且与上述定义等价。
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类似于从有理数域出发定义无理数的方法,我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。
对M中的任意两个柯西序列和,我们可以定义它们间的距离: (实数域完备所以该极限存在)。按此方式定义的度量还只是伪度量,这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样(比如从到),将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合,其中等价类是基于距离为0的关系(易于验证该关系是等价关系)。这样,令,,原空间就以的映射方式嵌入到新的完备度量空间中。易于验证,等距同构于的稠密子空间。
康托法构造实数是该完备化方法的一个特例:实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。
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康托爾的實數建構是上述構造的特例;此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化。倘若在有理數集上另取其它的絕對值,得到的完備空間則為p進數。
若將上述流程施於賦範向量空間,可得到一個巴拿赫空間,原空間是其中的稠密子空間。若施於一個內積空間,得到的則是希爾伯特空間,原空間依然是其稠密子空間。
相关概念
![]() | 此條目應避免有陳列雜項、瑣碎資料的部分。 (2022年3月27日) |
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参见
- 数学分析术语
參考資料
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