对数平均

对数平均是一个二个非负数字的数学函数，等于两者的差除以其对数的差。其符号为：

${\displaystyle {\begin{array}{ll}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi }},\\&={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ or }}y=0,\\x&{\text{if }}x=y,\\{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{array}}}$

三维图表显示对数平均的值

其中${\displaystyle x,y}$都是正整数。

对数平均的计算适用在有关热传及质传的工程问题上。

不等式

二个数字的对数平均小于其算术平均，大于几何平均^[1]，若二个数字相等，对数平均会等于算数平均及几何平均。

${\displaystyle {\sqrt {x\cdot y}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x\geq 0{\text{ and }}y\geq 0.}$

平均的推导

微分的均值定理

根据均值定理

${\displaystyle \exists \xi \in [x,y]:\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

若将${\displaystyle f}$改为${\displaystyle \ln }$，对数平均可以由 ${\displaystyle \xi }$来求得

${\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}}$

求解${\displaystyle \xi }$。

${\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}}$

积分

对数平均也可以表示为指数函数以下的面积。

${\displaystyle L(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t&=&\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t\\&=&x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}|_{t=0}^{1}\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)\\&=&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{array}}}$

面积的表示法可以推导一个有关对数平均的基本性质。 因为指数函数为单调函数，长度为1区间的的积分会在${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$之间。积分算子的齐次性转移到平均算子，因此${\displaystyle L(c\cdot x,c\cdot y)=c\cdot L(x,y)}$.

推广

微分的均值定理

对数平均可推广到${\displaystyle n+1}$变数，考虑对数n阶导数的均差中值定理（英语：mean value theorem (divided differences)）。 可以得到:${\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}}}$ 其中${\displaystyle \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}$为对数的均差。

若${\displaystyle n=2}$，会变成

${\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\cdot (y-z)\cdot (z-x)}{2\cdot ((y-z)\cdot \ln x+(z-x)\cdot \ln y+(x-y)\cdot \ln z)}}}}$.

积分

积分的表示法也可以推广到多变数，但结果不同。 假设单纯形 ${\displaystyle S}$ 其中${\displaystyle S=\{(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}):\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\ \land \ \alpha _{0}\geq 0\ \land \ \dots \ \land \ \alpha _{n}\geq 0\}}$及适当的量度${\displaystyle \mathrm {d} \alpha }$可以使单纯形得到1的体积，可得

${\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }$

利用指数函数的均差可以简化如下

${\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=n!\cdot \exp[\ln x_{0},\dots ,\ln x_{n}]}$.

例如${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x,y,z)=-2\cdot {\frac {x\cdot (\ln y-\ln z)+y\cdot (\ln z-\ln x)+z\cdot (\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot (\ln y-\ln z)\cdot (\ln z-\ln x)}}}$.

和其他平均的关系

• ${\displaystyle {\frac {L(x^{2},y^{2})}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}}$（算术平均）

相关条目

• 几何平均也和对数有关
• 对数平均是一种特别的Stolarsky平均（英语：Stolarsky mean）。
• 对数平均温差