局部环

在数学中，局部环是只有一个极大理想的交换环。

局部环的概念由 Wolfgang Krull 于1938年引入，称之为 Stellenringe，英译 local ring 源自扎里斯基。

定义

设 ${\displaystyle R}$ 为交换含幺环。若 ${\displaystyle R}$ 仅有一个极大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$，则称 ${\displaystyle R}$（或 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$）为局部环。域 ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ 称为 ${\displaystyle R}$ 的剩余域。

若 ${\displaystyle R}$ 中仅有有限个极大理想，则称之为半局部环。

一个局部环 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ 上带有一个自然的 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-进拓扑，使得 ${\displaystyle R}$ 成为拓扑环；其开集由 ${\displaystyle \{{\mathfrak {m}}^{i}:i\geq 0\}}$ 生成。当 ${\displaystyle R}$ 为诺特环时，可证明 ${\displaystyle R}$ 为豪斯多夫空间，且所有理想皆是闭理想。

设 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}),(S,{\mathfrak {n}})}$ 为局部环，环同态 ${\displaystyle \phi :R\rightarrow S}$ 被称为局部同态，当且仅当 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\phi ^{-1}({\mathfrak {n}})}$。

例子

• 域是局部环。
• 形式幂级数环 ${\displaystyle k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]}$ 是局部环，其中 ${\displaystyle k}$ 是个域。极大理想是 ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$。
• 取系数在${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 上，原点附近收敛半径为正的幂级数，它构成一个局部环，极大理想表法同上。
• 凡赋值环皆为局部环。
• 设 ${\displaystyle R}$ 为任意交换环， ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 为素理想，则相应的局部化 ${\displaystyle (R_{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}})}$ 是局部环；这也是局部环应用的主要场合。若 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {p}})}$ 已是局部环，则 ${\displaystyle R{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}R_{\mathfrak {p}}}$。
• 局部环的商环仍是局部环。

动机与几何诠释

局部环意在描述一个点附近的函数“芽”。设 ${\displaystyle X}$ 为拓扑空间，${\displaystyle F:=\mathbb {R} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$，且${\displaystyle x\in X}$。考虑所有资料 ${\displaystyle (f,U)}$，其中 ${\displaystyle U}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的一个开邻域，而 ${\displaystyle f:U\rightarrow F}$ 是连续函数。引入等价关系：

${\displaystyle (f,U)\sim (g,V)\iff \exists W\subset U\cap V,\;f|_{W}=g|_{W}}$ 且 ${\displaystyle W}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的开邻域。

换言之，若两个函数在 ${\displaystyle x}$ 附近一致，则视之等同。上述等价类在逐点的加法及乘法下构成一个环 ${\displaystyle \Gamma _{x}}$，其元素称作在 ${\displaystyle x}$ 的连续函数芽，它体现了连续函数在 ${\displaystyle x}$ 附近的行为。若 ${\displaystyle s\in \Gamma _{x}}$ 满足 ${\displaystyle s(x)\neq 0}$ ，则存在一个 ${\displaystyle x}$ 的开邻域 ${\displaystyle U}$ 及连续函数 ${\displaystyle f:U\rightarrow F}$，使得 ${\displaystyle [f,U]=s}$ 且 ${\displaystyle f}$ 恒非零，因此可定义乘法逆元 ${\displaystyle 1/s:=[1/f,U]}$。于是 ${\displaystyle \Gamma _{x}}$ 是局部环，其唯一的极大理想是所有在 ${\displaystyle x}$ 点取零的函数，剩余域则是 ${\displaystyle F}$。

类似想法可施于微分流形、解析流形或复流形，稍作修改后亦可推广至代数簇与概形。

在代数几何与复几何中，假设适当的有限性条件（例如凝聚性）， 若一陈述对某一点的芽成立，则在该点的某个开邻域上皆成立；就此而论，局部环集中表现了一点附近的局部性质。

在交换代数中，局部化的技术往往可将问题化约到局部环上；因此交换代数的许多定义与结果都落在局部环的框架内。

非交换的情形

一个含么环 ${\displaystyle R}$ 被称作局部环，当且仅当它满足下述等价条件：

• R 仅有一个极大左理想。
• R 仅有一个极大右理想。
• ${\displaystyle 1\neq 0\in R}$，且任两个非可逆元的和仍为非可逆元。
• ${\displaystyle 1\neq 0\in R}$，且对任何元素 ${\displaystyle x}$，${\displaystyle x}$ 或 ${\displaystyle 1-x}$ 必有一者可逆。
• ${\displaystyle 1\neq 0\in R}$，若 ${\displaystyle R}$ 中某个有限和是可逆元，则其中某项必可逆。

当上述任一性质成立，则下述三者等同：

• R 的唯一极大左理想
• R 的唯一极大右理想
• R 的 Jacobson根

对于交换环，上述定义化为交换局部环的原始定义。

文献

• V.I. Danilov, Local ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• H. Matsumura, Commutative algebra (1970), ISBN 0-8053-7026-9