布丰投针问题

布丰投针问题（法语：Aiguille de Buffon，又译“蒲丰投针问题”），是法国学者布丰于18世纪提出的一个数学问题：^[1]

设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板（如右图），现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。

使用积分几何能找到此题的解。用该方法可设计一个求π的蒙特卡洛方法，不过这并非布丰的本意。^[2]

解法

设针的长度是${\displaystyle \ell }$，平行线之间的距离为${\displaystyle t}$，${\displaystyle x}$为针的中心和最近的平行线的距离，${\displaystyle \theta }$为针和线之间的锐角。

${\displaystyle x\in [0,t/2]}$且均匀分布，其概率密度函数为${\displaystyle {\frac {2}{t}}}$。

${\displaystyle \theta \in [0,\pi /2]}$且均匀分布，其概率密度函数为${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}$。

${\displaystyle x,\theta }$两个随机变量互相独立，因此两者结合的概率密度函数只是两者的积：

${\displaystyle {\frac {4}{t\pi }}\ (x\in [0,t/2],\theta \in [0,\pi /2])}$

当${\displaystyle x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta }$，针和线相交，然后对${\displaystyle x,\theta }$积分得出所求概率。

要求上式的积分需要分为两种情况：“短针”${\displaystyle ({\ell }\leq t)}$以及“长针”${\displaystyle ({\ell }>t)}$；以下考虑“短针”情况，计算上式积分得针与线相交的概率：

${\displaystyle P=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{(\ell /2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2\ell }{t\pi }}}$

作简单变换可得${\displaystyle \pi ={\frac {2\ell }{tP}}}$,

当抛${\displaystyle n}$支针，其中有${\displaystyle h}$支针与线相交，利用多次重复试验所观察事件发生的频率越来越接近概率的理论值${\displaystyle P\approx {\frac {h}{n}}}$。

近似可得${\displaystyle \pi \approx {\frac {2\ell n}{th}}}$

拉扎里尼的估计

1901年，意大利数学家马里奥·拉扎里尼（Mario Lazzarini）尝试进行此实验。他抛了3408次针，得到π的近似值为355/113。

拉扎里尼选取了一支长度是纹的距离的5/6的针。在这个情况，针和纹相交的机会是5/(3π)。如果想抛n次针而得到x次相交，π约等于${\displaystyle 5/3\times n/x}$。分母、分子少于五位数字，没有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式${\displaystyle 355/113=5/3\times n/x}$，得${\displaystyle x=113n/213}$。

为求x的值接近这个数，可以重复抛213次针，若有113次是成功的，便可终止实验，宣布这个方法求π值准确度不低；否则，就再抛213次针，希望共有226次成功……这次反复进行实验。拉扎里尼做了${\displaystyle 3408=213\times 16}$次。

参见

• 伯特兰悖论
• 蒙特卡洛方法