希尔伯特第十七问题

希尔伯特第十七问题，是希尔伯特的23个问题之一。假设${\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})}$为实系数多项式，且对每个${\displaystyle (x_{1},\ldots x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$都有${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq 0}$，希尔伯特提出下述问题：是否可能将${\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})}$表成实系数有理函数的平方和？

此问题首先由埃米尔·阿廷于1927年给出肯定回答，并开展了实封闭域的理论；此后也有就模型论观点的相关研究，请参见下列文献。

文献

• E. Artin, Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 5（1927）, pp. 100-115
• E. Artin and E. Schreier, Algebraische Konstruktion reeller Körper, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 5（1927）, pp.85-99
• G. L. Cherlin, Model Theoretic Algebra - Selected Topics（1976）, Lecture Notes in Mathematics No. 521, Springer ISBN 0-387-07696-4