希尔伯特第十六问题

希尔伯特第十六问题，是希尔伯特的23个问题之一。它分成两个部分：

• 实代数曲线与曲面的拓扑结构

哈纳克在1876年证明了一个平面上${\displaystyle n}$次实代数曲线最多有${\displaystyle {\frac {n^{2}-3n+4}{2}}}$个分支。希尔伯特提议研究这些分支之间的拓扑性质，并将哈纳克的估计推广到空间里的实代数曲面。

• 极限环的拓扑结构

给定二元${\displaystyle n}$次实多项式${\displaystyle P(x,y),Q(x,y)}$，考虑下述平面上的动力系统

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=P(x,y)\\{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=Q(x,y)\end{array}}\right.}$

希尔伯特提议研究其极限环的最大数目及其拓扑。

总而言之，此问题意在研究由实多项式定义出的拓扑结构。在第一部分，我们考虑实多项式的零点；在第二部分，我们考虑实多项式定义的向量场及其积分曲线。

进展

希尔伯特第十六问题在1950年代末由苏联科学院院士伊万·彼得罗夫斯基与叶夫根尼·兰迪斯解决。但随后他们的证明被证明存在漏洞。1980年，中国科学技术大学研究生史松龄，南京大学陈兰荪、王明淑分别独立举出反例，彻底推翻了二人的证明^[1][2]。因此第十六问题至今仍未解决。

文献

• Yu. Il'yashenko, Finiteness theorems for limit cycles , Amer. Math. Soc.（1991）
• Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko（ed.）, Concerning the Hilbert 16th problem（1995）, Amer. Math. Soc.
• Shi Songling, A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems, Sci. Sinica, 23 (1980), 153-158.
• Lan Sun Chen, Ming Shu Wang, The relative position, and the number, of limit cycles of a quadratic differential system, Acta Math. Sinica, 22 (1979), 751–758.