常用对数

标准对数，也称常用对数（英语：Common logarithm^{[注 1]}）在数学是以10为底数的对数函数，其逆函数是以10作基数的指数函数。

由0.1到100的常用对数

底为10的对数表达式以log₁₀(x)表示，有时以英文大写字母L表示Log(x)^{[注 2]}。计算机的标记通常是“log”，但数学家通常区分自然对数^{[注 3]}和常用对数。为了区分开来，ISO 80000规范建议log₁₀(x)应写成lg (x)，logₑ(x)应写成ln (x)。

数学表达

常用对数一般表示成${\displaystyle \log x}$，或简写成${\displaystyle \lg x}$，正式写法是${\displaystyle \log _{10}x}$；而常用对数逆函数为${\displaystyle 10^{x}}$。

用途

常用对数表，显示数字1000到1500的常用对数至五位小数，全表涵盖大至9999的数

常用对数可令“十变一，亿变八”（数算整数位以上的零的数目），多数用于比较并表达声音强度（分贝）、酸碱值、地震规模（芮氏震级）、星等等相差层次很大的数值。常见例子是化学用的氢离子指数，定义如

${\displaystyle \mathrm {pH} =-\log _{10}{\frac {[\mathrm {H} ^{+}]}{\mathrm {mol/L} }}}$。

20世纪70年代初之前还没有手持电子计算器可用，能倍增的机械计算器体积庞大，价格昂贵并不广泛使用。相反，当计算所需的精度比使用计算尺能达到的要求更高时，科学，工程和导航用的是底数为10的对数表格。使用对数避免了繁琐且容易出错的笔算乘法和分割。对数非常有用，许多教科书的附录都有底为10的对数表格。数学和导航手册也包括三角函数的对数表。

底为10的对数一个重要特性使得它们在计算中非常有用，大于1的对数相差10倍的幂，小数部分都相同，对数表只需显示小数部分，称尾数（mantissa）。常用对数表通常列出范围内各数的尾数，小数点后4至5位，如1000到9999。这范围涵盖尾数的所有可能值。

整数部分称特征（characteristic），可数算小数点必须移动多少位来计算，以便它仅在第一有效位的右侧，如120的对数由以下计算得出：

log120＝log(10²×1.2)＝2+log1.2≈2+0.07918。

最后数字（小数部分0.07918，或120的常用对数尾数）可在下表找到。小数点在120的位置告诉我们120的常用对数特征是2。

大于0且小于1的数字有负对数，为了避免需要另外的表格将正负对数转换回原数，有时会用小节符号表示：

${\displaystyle \log _{10}0.012=\log _{10}(10^{-2}\times 1.2)=-2+\log _{10}1.2\approx -2+0.07918={\bar {2}}.07918=-1.92082}$

特征上的横线表明其为负值，而尾数仍为正值，符号${\displaystyle {\bar {n}}}$读作“bar n”，${\displaystyle {\bar {2}}.07918}$读作“bar 2 point 07918”。

以下示例用小节符号计算0.012×0.85＝0.0102：

${\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}0.012\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}0.85&=\log _{10}(10^{-1}\times 8.5)=-1+\log _{10}8.5&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\;,\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}0.012+\log _{10}0.85&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}(10^{-2})+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102)\end{array}}}$

下表显示如何将相同的尾数用于不同10次方的数字范围：

一数乘不同10次方之常用对数、特征及尾数

数：5×10i	常用对数：logn	特征i：floor(logn)	尾数logn－特征	combined form
5000000	6.698970...	6	0.698970...	6.698970...
50	1.698970...	1	0.698970...	1.698970...
5	0.698970...	0	0.698970...	0.698970...
0.5	−0.301029...	−1	0.698970...	1.698970...
0.000005	−5.301029...	−6	0.698970...	6.698970...

${\displaystyle \log _{10}(x\times 10^{i})=\log _{10}(x)+\log _{10}(10^{i})=\log _{10}(x)+i}$，

尾数对所有5×10ⁱ都通用，适用于任何正实数${\displaystyle x}$。

对数表每条尾数可以只列一次。在5×10ⁱ的例子中，0.698970（004336018...）列在5（或0.5或500等）之下一次。

历史

以10为底的对数对计算最常用，工程师通常简写成“ lg( x ) ”。另一方面，数学家在表示自然对数的logₑ（x）时会写成“ ln（x）”，这两种符号现今都广泛使用。

手持电子计算器由工程师而非数学家设计，遵循工程师的符号已成为惯例；记法“ln（x）”在发明电子计算器后大幅普及。

数值