库默尔定理

在数学里，库默尔定理能计算给出的二项式的系数的p-adic赋值（英语：P-adic valuation），即${\displaystyle {\binom {n}{m}}}$含p的幂次。 本定理以恩斯特·库默尔命名。

定理

库默尔定理指出，给定整数 ${\displaystyle n\geq m\geq 0}$和一个质数 ${\displaystyle p}$, p-adic赋值 ${\displaystyle \nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)}$ 等于以 ${\displaystyle p}$ 为基底时${\displaystyle m}$加 ${\displaystyle n-m}$的进位次数。

例子

要计算 ${\displaystyle \nu _{2}\left({\tbinom {10}{3}}\right)}$，写出 ${\displaystyle m=3}$ 和 ${\displaystyle n-m=7}$ 的二进制表示 ${\displaystyle 3=11_{2}}$ 和 ${\displaystyle 7=111_{2}}$。进行二进制加法 ${\displaystyle 11_{2}+111_{2}=1010_{2}}$ 需要进位三次。 故 ${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15}$ 中 2 的次数是 3。

求具有下述性质的所有整数${\displaystyle k}$：存在无穷多个正整数${\displaystyle n}$，使得${\displaystyle n+k}$不整除 ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$。^[1]

解 ∵ ${\displaystyle {\binom {2n}{n-1}}={\frac {2n(2n-1)\cdots (n+2)}{(n-1)!}}={\frac {n}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$,

∴ ${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}={\binom {2n}{n}}-{\binom {2n}{n-1}}}$ 是整数，

∴ ${\displaystyle n+1\left|{\binom {2n}{n}}\right.}$ 对任意正整数${\displaystyle n}$成立，从而 1 不满足要求.

当${\displaystyle k\leq 0}$时，取${\displaystyle n=p-k}$（${\displaystyle p}$为奇素数，${\displaystyle p>-2k}$），满足要求.

当${\displaystyle k\geq 2}$时，取${\displaystyle k}$的一个素因子${\displaystyle p}$，选取正整数${\displaystyle m}$使得 ${\displaystyle p^{m}>k}$，令 ${\displaystyle n=p^{m}-k}$，我们证明： ${\displaystyle n+k}$ 不整除 ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$.

${\displaystyle 2n=n+n}$ 最多进位${\displaystyle m-1}$次. 由库默尔定理，${\displaystyle \nu _{p}\left({\binom {2n}{n}}\right)\leq m-1}$，

∵ ${\displaystyle n+k=p^{m}}$，∴ ${\displaystyle n+k}$不整除${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$.

从而存在无穷多个${\displaystyle n}$满足要求.

综上，${\displaystyle k}$是任意不为1的整数.

证明

将组合数${\displaystyle {\tbinom {m+n}{m}}}$写成${\displaystyle {\tbinom {m+n}{m}}={\tfrac {(m+n)!}{m!n!}}}$ 根据勒让德定理，它所含${\displaystyle p}$的幂次数为 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\sum _{i=1}^{\infty }\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\sum _{i=1}^{\infty }\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]=\sum _{i=1}^{\infty }\left\{\left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]\right\}}$$ ${\displaystyle \left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]}$等于${\displaystyle n}$在${\displaystyle p}$进制表示下，截去末${\displaystyle i}$位得到的数，因此 $${\displaystyle \left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]={\begin{cases}1&{\text{若 第 }}i+1{\text{ 位 有 进 位}}\\0&{\text{若 第 }}i+1{\text{ 位 不 进 位}}\end{cases}}}$$ 最后对${\displaystyle i}$求和，就是${\displaystyle m+n}$在${\displaystyle p}$进制下的进位次数。

多项系数的一般化

库默尔定理，可以推广到 多项系数 ${\displaystyle {\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}:={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}}$ ：

将 ${\displaystyle n}$ 以 ${\displaystyle p}$为基底写做 ${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}$和定义 ${\displaystyle S_{p}(n)=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$ 是 ${\displaystyle p}$ 基底的数位和。 则

${\displaystyle \nu _{p}\left({\dbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}\right)={\dfrac {1}{p-1}}\left(\sum _{i=1}^{k}S_{p}(m_{i})-S_{p}(n)\right)}$.

参见

• 卢卡斯定理