拉格朗日力学时常涉及广义速度。假设一个物理系统的广义坐标是 ( q 1 , q 2 , q 3 , … , q N ) {\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N})\,\!} ,表示广义速度为 ( q ˙ 1 , q ˙ 2 , q ˙ 3 , … , q ˙ N ) {\displaystyle ({\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ {\dot {q}}_{3},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})\,\!} 。广义速度定义为广义坐标对于时间 t {\displaystyle t\,\!} 的导数: q ˙ i = d q i d t {\displaystyle {\dot {q}}_{i}={dq_{i} \over dt}\,\!} 。 Remove ads与动能的关系 在三维空间里,一个质量为 m {\displaystyle m\,\!} 、速度为 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 的粒子的动能是 T = 1 2 m v 2 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!} 。 速度是位置 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 对于时间 t {\displaystyle t\,\!} 的导数。应用偏微分链式法则,可以得到 v = d r d t = ∑ i ∂ r ∂ q i q ˙ i + ∂ r ∂ t {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,\!} ; 其中, q i {\displaystyle q_{i}\,\!} 是第 i {\displaystyle i\,\!} 个广义坐标, q ˙ i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}\,\!} 是对应的广义速度。 所以, T = 1 2 m ( ∑ i ∂ r ∂ q i q ˙ i + ∂ r ∂ t ) 2 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!} 。 将方程展开[1],动能可以分为三个项目表示: T = T 0 + T 1 + T 2 {\displaystyle T=T_{0}+T_{1}+T_{2}\,\!} ; 其中, T 0 = 1 2 m ( ∂ r ∂ t ) 2 {\displaystyle T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!} , T 1 = ∑ i m ∂ r ∂ t ⋅ ∂ r ∂ q i q ˙ i {\displaystyle T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!} , T 2 = ∑ i , j 1 2 m ∂ r ∂ q i ⋅ ∂ r ∂ q j q ˙ i q ˙ j , {\displaystyle T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},\!} 。 T 0 {\displaystyle T_{0}\,\!} 、 T 1 {\displaystyle T_{1}\,\!} 、 T 2 {\displaystyle T_{2}\,\!} 分别为广义速度 q ˙ i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}\,\!} 的0次、1次、2次齐次函数。如果这系统是定常系统,位置不显性地含时间, ∂ r ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0\,\!} ,则只有 T 2 {\displaystyle T_{2}\,\!} 不等于零。所以, T = T 2 {\displaystyle T=T_{2}\,\!} ,动能是广义速度的2次齐次函数。 Remove ads参阅 拉格朗日力学 哈密顿力学 虚功 广义力 参考文献Loading content...Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads