广义频谱图

广义频谱图（Generalized spectrogram），为频谱图的通用型。为了得知信号随着时间的频率分布状态，以频谱图观察时，其分辨率受到测不准原理影响，频率分辨率与时间分辨率相乘为定值。为解决此问题，于是将频谱图推广至广义频谱图。

一段随时间变化的信号，同时具有时域和频域的特征，若想要了解一个信号在某段时间内的频率特征，最好的方式就是使用时频分析，观察一段信号的时频分布图。频谱图(Spectrogram)就是其中一种同时表示时间和频率特征的分布图。

广义频谱图的定义

以高斯函数作为窗函数(window function)，使用时频分析，求出两组不同长度的窗函数的加伯转换，即 ${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)}$ 和 ${\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)}$ ，再将 ${\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)}$ 取共轭复数后相乘。公式如下：

${\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)}$

其中${\displaystyle w_{1}(t),w_{2}(t)}$为加伯转换的窗函数，${\displaystyle t}$为时间 ${\displaystyle f}$为频率。

加伯转换的公式如下：

${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

${\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

若将${\displaystyle w_{1}(t)=w_{2}(t)}$，则与原本频谱图无异。

长度不同的窗函数，其时频域的分辨率不同，依据测不准原理，较窄的窗函数，时间分辨率较好，而频率分辨率较差；相反的，较宽的窗函数，频率分辨率较好，而时间分辨率较差。

为了同时在时间和频率轴上都达到更好的分辨率，把在频谱图原定义中的${\displaystyle w(t)}$分为两个长短不同的波形。例如 : 可以让${\displaystyle w_{1}(t)}$长度较宽，在频域上面有良好的分辨率，而${\displaystyle w_{2}(t)}$则长度较窄，在时域上有良好的分辨率。先分别运算${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)}$和${\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)}$，再相乘，变为${\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}\left({t,f}\right)}$。如此一来时域和频域上的分辨率都能兼顾到。

优点

• 有优于测不准原理的时间分辨率与空间分辨率。
• 由于各自的加伯转换并不会有cross term，故此方法也不会有cross term出现。
• 有省时方法：当一组加伯转换中的数值为零时，我们将不用去计算另一组，因为相乘后还是零。

缺点

• 需要计算两组加伯转换，即与频谱图相比，最高会多花两倍的时间
• 需要去最佳化${\displaystyle w_{1}(t)}$与${\displaystyle w_{2}(t)}$

例子

当我们的输入信号为：

${\displaystyle x_{1}(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(6\pi t);&t>20\end{cases}}}$

我们先分别求出${\displaystyle \sigma =0.1}$ 与 ${\displaystyle \sigma =1.6}$ 的 。经Matlab计算后，如下图

加伯转换中，sigma=0.1的频谱图

加伯转换中，sigma=1.6的频谱图

将其中一个取共轭复数后，两者相乘，得到广义频谱图如下；

广义频谱图

我们可以与${\displaystyle \sigma =0.4}$的加伯转换比较：

加伯转换中，sigma=0.4.的频谱图

可以发现广义频谱图无论是在时间分辨率下，或是频率分辨率下，都优于${\displaystyle \sigma =0.4}$的加伯转换。

变形

原本的广义频谱图公式为 ${\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)={G_{x,{w_{1}}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)}$

我们可以对此再进行一般化，如下

${\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}^{\alpha }(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{\beta }(t,f)}$

或者如下方形式：

${\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=\left|G_{x,{w_{1}}}(t,f)\right|^{\alpha }\left|G_{x,{w_{2}}}(t,f)\right|^{\beta }}$

两种方法新增了${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$两变数，期望能找到更好的分辨率。

参见

• 时频分析
• 频谱图
• 短时距傅立叶变换
• 加伯转换
• 韦格纳分布

参考来源

• 丁建均上课讲义。时频分析与小波转换 （页面存档备份，存于互联网档案馆），p189-p192。2016.1.19
• P. Boggiatto, G. De Donno, and A. Oliaro,"Two window spectrogram and their integrals,"Advances and Applications, vol. 205, pp. 251–268, 2009.。