开集

在数学上，特别是拓朴学中，开集是对实数开区间进行推广之后得到的抽象集合。

通常微积分的课程中，会借助欧式空间的距离去描述数列极限；直观上，当 ${\displaystyle n}$ 越来越大时，数列 ${\displaystyle x_{n}}$ 跟 ${\displaystyle a}$ 极其靠近，则称 ${\displaystyle a}$ 是数列 ${\displaystyle x_{n}}$ 的极限，但这需要距离去严谨的描述“靠近程度”，开集就是来自于“ ${\displaystyle a}$ 点附近”这样的直观概念。类似的，函数极限也需要距离的概念去严谨定义。

满足${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$的点${\displaystyle (x,y)}$着蓝色。满足${\displaystyle x^{2}+y^{2}<r^{2}}$的点${\displaystyle (x,y)}$着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定义

直观上，于“开集”或说“不含边界的集合”中任取一点，都可以找到一个以此点为圆心，且半径足够小到落在“开集”里的圆盘（但圆盘的边界可能不在开集内）。开集的严谨定义由此而来。

欧式空间

所谓的${\displaystyle n}$维欧式空间，指的是囊括所有实数n-元组${\displaystyle (r_{1},\,\dots ,\,r_{n})}$的集合（记为${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$）。 为了定义开集，可以推广勾股定理，将 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中任两点${\displaystyle x=(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})}$ 与 ${\displaystyle y=(y_{1},\,\dots ,\,y_{n})}$ 的欧式距离定义为：

${\displaystyle d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}}$

然后定义所谓的（${\displaystyle n}$维）开球（open ball）：

${\displaystyle B(a,\,r):={\bigg \{}p\in \mathbb {R} ^{n}\,{\bigg |}\,d_{n}(a,\,p)<r{\bigg \}}}$

也就是直观上，一个以${\displaystyle a}$为球心，${\displaystyle r}$为半径但不包含表面的球体。

这样就可以作如下的定义：

定义 — 
若 ${\displaystyle O\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ，且对所有 ${\displaystyle p\in O}$ ，存在一个 ${\displaystyle r>0}$ ，使${\displaystyle B(p,\,r)\subseteq O}$，那么就说子集${\displaystyle O}$是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的一个开集。

也就是直观上，取开集 ${\displaystyle O}$ 的任意点 ${\displaystyle x}$ 都有一个以 ${\displaystyle x}$ 为球心的开球完全包含于 ${\displaystyle O}$ 。

赋距空间

只要把上节的欧式距离改成一般的度量，开集的概念很容易推广到赋距空间${\displaystyle (M,d)}$中。

以下把${\displaystyle (M,d)}$ 中的开球（open ball）定义成：

${\displaystyle B(a,\,\delta ):={\bigg \{}p\in M\,{\bigg |}\,d(a,\,p)<\delta {\bigg \}}}$

这样就可以作如下的定义：

定义 — 
${\displaystyle U}$ 是 ${\displaystyle M}$ 的子集，且对所有 ${\displaystyle p\in U}$，存在 ${\displaystyle \delta >0}$ 使${\displaystyle B(a,\,\delta )\subseteq U}$ ，则称 ${\displaystyle U}$ 是 ${\displaystyle M}$ 的一个开集。

这的确推广了欧式空间部分的定义，因为欧式距离 ${\displaystyle d_{n}}$ 和${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$本身就组成了一个赋距空间${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{n})}$。

赋距空间的开集还会有以下的性质：

定理 — 
若 ${\displaystyle (M,d)}$ 为赋距空间，则

(1) ${\displaystyle \varnothing }$ 和 ${\displaystyle M}$ 也是 ${\displaystyle M}$ 的开集。

(2) 若 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 都是 ${\displaystyle M}$ 的开集，则 ${\displaystyle A\cap B}$ 也是 ${\displaystyle M}$ 的开集。

(3) ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ （ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是 ${\displaystyle M}$ 的一个子集族），若所有 ${\displaystyle O\in {\mathcal {F}}}$ 都是 ${\displaystyle M}$ 的开集，则 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}}$ 也是 ${\displaystyle M}$ 的开集。（也就是直观上，任意数量开集的并集也是开集）

证明

(1) 对每个${\displaystyle p\in M}$都有${\displaystyle B(p,\,1)\subseteq M}$，所以${\displaystyle M}$是自己的一个开集；另外对所有${\displaystyle p\in M}$都有${\displaystyle p\notin \varnothing }$（直观上来说没有点可以当开球的球心），所以逻辑上不用验证是否有开球包含于${\displaystyle \varnothing }$，就可以得到${\displaystyle \varnothing }$满足开集的定义 （直观上来说，前提为假的话，不论结论是否为真，“前提=>结论”都是对的）。${\displaystyle \Box }$ (2) 若${\displaystyle p\in A\cap B}$，依据假设存在${\displaystyle \delta _{A},\,\delta _{B}>0}$ 使得 ${\displaystyle B(p,\,\delta _{A})\subseteq A}$ 且 ${\displaystyle B(p,\,\delta _{B})\subseteq B}$，这样取 ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{A},\,\delta _{B}\}}$的话，就有${\displaystyle B(p,\,\delta )\subseteq A\cap B}$，是故${\displaystyle A\cap B}$也是${\displaystyle M}$ 的开集。${\displaystyle \Box }$ (3) 若${\displaystyle p\in \bigcup {\mathcal {F}}}$，依照并集的性质，存在 ${\displaystyle O\in {\mathcal {F}}}$ 使得 ${\displaystyle p\in O}$ ；但根据假设， ${\displaystyle O\in {\mathcal {F}}}$ 都是 ${\displaystyle M}$ 的开集，换句话说，存在 ${\displaystyle \delta >0}$ 使${\displaystyle B(p,\,\delta )\subseteq O}$ ，那因为 ${\displaystyle O\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}}$，所以有 ${\displaystyle B(p,\,\delta )\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}}$，是故 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}}$ 也是 ${\displaystyle M}$ 的开集。${\displaystyle \Box }$

事实上这些性质这就是拓扑空间定义的动机。

拓扑空间

开集是拓扑空间定义的基石；也就是从任意母集合 ${\displaystyle X}$ 出发，再选取 ${\displaystyle X}$ 的特定的子集族 ${\displaystyle \tau }$ ，规定 ${\displaystyle \tau }$ 中的集合就是开集，这样的子集族 ${\displaystyle \tau }$ 被叫做 ${\displaystyle X}$ 上的拓扑：

定义 — 
${\displaystyle X}$ 为集合，若 ${\displaystyle \tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 满足

(1) ${\displaystyle \varnothing ,\,X\in \tau }$

(2) 若 ${\displaystyle A,B\in \tau }$ 则 ${\displaystyle A\cap B\in \tau }$。

(3) ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \tau }$ ，则 ${\displaystyle \bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F\in \tau }$ 。（也就是说，任意数量开集的并集也是开集）

则称 ${\displaystyle \tau }$ 为 ${\displaystyle X}$ 上的拓扑，并称 ${\displaystyle (X,\,\tau )}$ 为一拓扑空间。任何 ${\displaystyle O\in \tau }$ 被称为开集。

根据上一节赋距空间的性质，取 ${\displaystyle \tau _{d}}$ 为所有 ${\displaystyle M}$ 的开集所构成的子集族，则 ${\displaystyle (M,\,\tau _{d})}$ 也是一拓扑空间。

例子

• 度量空间${\displaystyle (X,d)}$中，以点${\displaystyle x\in X}$为中心，${\displaystyle \varepsilon }$为半径的球体${\displaystyle B(x,\varepsilon )}$为开集，任意的开集${\displaystyle A}$包含以${\displaystyle x\in A}$为中心，充分小的${\displaystyle \varepsilon }$为半径的球体${\displaystyle B(x,\varepsilon )}$。
• 流形中的开集为子流形。

用处

开集在拓扑学分支中有着基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此类概念，比如度量空间和一致空间）时，都会用到开集的概念。

拓扑空间${\displaystyle X}$的每个子集${\displaystyle A}$都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做${\displaystyle A}$的内部。它可以通过取包含在${\displaystyle A}$中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$以及函数${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$，如果在${\displaystyle Y}$中的所有开集的前像是在${\displaystyle X}$中的开集，则${\displaystyle f}$是连续的，这是实函数上的连续定义的推广，${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$时这与实函数的连续定义等价。如果在${\displaystyle X}$中的所有开集的像是${\displaystyle Y}$中的开集，映射${\displaystyle f}$被叫做开映射。

实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。

相关条目

• 拓扑空间
• 度量空间
• 闭集
• 闭开集

注释