微分的线性

在微积分中，函数的任何线性组合的导数等于函数的导数的相同线性组合^[1]，此属性称为微分的线性（linearity of differentiation）^[2]、线性法则（rule of linearity）、或微分的叠加法则^[3]。导数的基本属性是将两个简单的微分法则封装在一起：求和法则（两个函数之和的导数是导数的和）和常数法则（函数的常数倍的导数是该函数的导数的常数倍）^[4][5]。因此，可以说微分作用是线性的，或者微分算子是线性的算子^[6]。

说明

设 f 和 g 为函数，同时 α 和 β 是常数，思考：

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))}$

通过微分的求和法则：

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x))}$

通过微分的常数法则，这一式子变为：

${\displaystyle \alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x)}$

进而：

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x)}$

忽略括号，这常被写作

${\displaystyle (\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'}$