扇形

扇形（Circular sector）指圆上被两条半径和半径所截之一段弧所围成的图形。因形状如一把扇子而得名。圆形不是一种扇形。

绿色所示的区域便是一个扇形。

弧长

扇形的弧长∝圆心角。

• ${\displaystyle L=\theta r}$（弧度制）
• ${\displaystyle L=2\pi r\cdot {\frac {\theta }{360^{\circ }}}}$（角度制）

面积

扇形的面积∝圆心角：

• ${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}$（弧度制）
• ${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{360^{\circ }}}}$（角度制）

扇形的面积∝弧长：

• ${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {rL}{2}}}$

扇形面积的积分形式：

• ${\displaystyle {\displaystyle A=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}dS=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}{\tilde {r}}\,d{\tilde {r}}\,d{\tilde {\theta }}=\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d{\tilde {\theta }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}}$（弧度制）

周长

扇形的周长由弧长和两个半径组成：

• ${\displaystyle P=L+2r=\theta r+2r=r(\theta +2)}$（弧度制）

弦长

• ${\displaystyle C=2r\ sin{\frac {\theta }{2}}}$（弧度制）

附加性质

• 圆锥的侧面展开图是扇形。
• 弓形指扇形割去或补上由弦和两条半径所组成的三角形的部分。

参见

• 弓形
• 圆锥曲线
• 弧度制

参考来源

• Gerard, L. J. V. The Elements of Geometry, in Eight Books; or, First Step in Applied Logic, London, Longman's Green, Reader & Dyer, 1874. p. 285

外部链接

• Definition and properties of a circle sector with interactive animation
• 埃里克·韦斯坦因. Circular sector. MathWorld.