托里拆利小号

托里拆利小号（Torricelli's Trumpet）是由意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（Evangelista Torricelli）所提出的一个表面积无限大但体积有限的三维形状。此形状又被称为加百列号角（Gabriel's Horn），根据基督教传说，天使长加百利吹号角以宣布审判日（Judgment Day）的到来。

托里拆利小号的3D绘图.

数学定义

这个曲面是由${\displaystyle y=1/x}$（x的域为${\displaystyle x\geq 1}$）的曲线沿${\displaystyle x}$轴旋转而成。以下是其体积和表面积的推导：

使用旋转体的体积(V)和旋转曲面的面积(A)公式^[1]，可得：

${\displaystyle V=\int _{1}^{\infty }\pi y^{2}\mathrm {d} x=\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\pi }$

${\displaystyle A=\int _{1}^{\infty }2\pi y{\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x=2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}{x}}\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x={\infty }}$

可见，托里拆利小号的体积是有限的但是表面积是无限的，其体积和表面积除了微积分方法也可以用祖暅原理得出。

需要注意的是，托里拆利小号和伪球面的形状和性质（体积有限）相似，但两者是完全不同的曲面。

参阅

• 双曲线
• 科赫曲线
• 宇宙的形状
• 旋转曲面
• 芝诺悖论