正扭歪无限面体

在几何学中，正扭歪^[1][2]无限面体（英语：Regular skew apeirohedron），又称扭歪正多面体（日语：ねじれ正多面体）^{[注 1]}是一种顶点并非全部共面的正无限面体，即每个面都全等、每个角也相等的扭歪无限面体。通常扭歪无限面体会具有正扭歪的面或扭歪的顶点图。

历史

关于考克斯特，1926年时，约翰·弗林德斯·皮特里将扭歪多边形（非平面多边形）的概念推广到四维空间的扭歪多面体和三维空间的扭歪无限面体。

考克斯特找到了三种形式，他们具有平的面和扭歪的顶点图，两者彼此互补。它们都可以用施莱夫利符号的扩展符号{l,m|n}来表示。这个扩展符号{l,m|n}表示每个顶点都是${\displaystyle m}$个正${\displaystyle l}$边形的公共顶点，且存在正${\displaystyle n}$边形的空洞。

若一扭歪无限面体是一个正扭歪无限面体，则其施莱夫利符号存在下列等式：

• 2 sin(π/l) · sin(π/m) = cos(π/n)

三维空间的正扭歪无限面体

三维空间中有三种扭歪无限面体，分别为四角六片四角孔扭歪无限面体、六角四片四角孔扭歪无限面体和六角六片三角孔扭歪无限面体。约翰·康威将他们称为多立方体（英语：Mucube）、多八面体（英语：Muoctahedron）和、多四面体（英语：Mutetrahedron），英文中的字首mu-表示“多”（英语：multiple）的意思，其意义分别代表“很多立方体”、“很多八面体”以及“很多四面体”^[3]。

1. 四角六片四角孔扭歪无限面体（多立方体、英语：Mucube）：{4,6|4}：每个顶点都是六个正方形的公共顶点
2. 六角四片四角孔扭歪无限面体（多八面体、英语：Muoctahedron）：{6,4|4}：每个顶点都是四个六边形的公共顶点
3. 六角六片三角孔扭歪无限面体（多四面体、英语：Mutetrahedron）：{6,6|3}：每个顶点都是六个六边形的公共顶点

考克斯特给予这些 {2q,2r|p} 形式的扭歪无限面体与抽象群 (2q,2r|2,p) 同构的[[(p,q,p,r)]⁺的手征对称性。与之相关的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的扩展对称性^[4]。

紧空间正扭歪无限面体

考克斯特群 对称性	无限面体 {p,q|l}	图像	面 {p}	洞 {l}	顶点图	相关堆砌
[[4,3,4]] [[4,3,4]+]	{4,6|4} 四角六片四角孔 扭歪无限面体 多立方体	动画			扭歪六边形 （黄色部分）	t0,3{4,3,4}
	{6,4|4} 六角四片四角孔 扭歪无限面体 多八面体	动画			扭歪四边形 （绿色部分）	2t{4,3,4}
[[3[4]]] [[3[4]]+]	{6,6|3} 六角六片三角孔 扭歪无限面体 多四面体	动画			扭歪六边形 （绿色部分）	q{4,3,4}（英语：Quarter cubic honeycomb）

三维双曲空间的正扭歪无限面体

1967年时，C. W. L. Garner以类似于在欧式三维空间寻找正扭歪无限面体的方式，发现了31种双曲空间中具有扭歪多边形顶点图的正扭歪无限面体^[5]。

14种紧空间正扭歪无限面体

14种紧空间正扭歪无限面体

考克斯特群	无限面体 {p,q|l}	面 {p}	洞 {l}	堆砌	顶点图		无限面体 {p,q|l}	面 {p}	洞 {l}	堆砌	顶点图
[3,5,3]	{10,4|3}			2t{3,5,3}（英语：Bitruncated icosahedral honeycomb）			{4,10|3}			t0,3{3,5,3}（英语：Runcinated icosahedral honeycomb）
[5,3,5]	{6,4|5}			2t{5,3,5}（英语：Bitruncated order-5 dodecahedral honeycomb）			{4,6|5}			t0,3{5,3,5}（英语：Runcinated order-5 dodecahedral honeycomb）
[(4,3,3,3)]	{8,6|3}			ct{(4,3,3,3)}			{6,8|3}			ct{(3,3,4,3)}
[(5,3,3,3)]	{10,6|3}			ct{(5,3,3,3)}			{6,10|3}			ct{(3,3,5,3)}
[(4,3,4,3)]	{8,8|3}			ct{(4,3,4,3)}（英语：Cyclotruncated cubic-octahedral honeycomb）			{6,6|4}			ct{(3,4,3,4)}（英语：Cyclotruncated octahedral-cubic honeycomb）
[(5,3,4,3)]	{8,10|3}			ct{(4,3,5,3)}			{10,8|3}			ct{(5,3,4,3)}
[(5,3,5,3)]	{10,10|3}			ct{(5,3,5,3)}（英语：Cyclotruncated dodecahedral-icosahedral honeycomb）			{6,6|5}			ct{(3,5,3,5)}（英语：Cyclotruncated icosahedral-dodecahedral honeycomb）

17种仿紧空间正扭歪无限面体

17种仿紧空间正扭歪无限面体

考克斯特群	无限面体 {p,q|l}	面 {p}	洞 {l}	堆砌	顶点图		无限面体 {p,q|l}	面 {p}	洞 {l}	堆砌	顶点图
[4,4,4]	{8,4|4}			2t{4,4,4}（英语：Bitruncated order-4 square tiling honeycomb）			{4,8|4}			t0,3{4,4,4}（英语：Runcinated order-4 square tiling honeycomb）
[3,6,3]	{12,4|3}			2t{3,6,3}（英语：Bitruncated triangular tiling honeycomb）			{4,12|3}			t0,3{3,6,3}（英语：Runcinated triangular tiling honeycomb）
[6,3,6]	{6,4|6}			2t{6,3,6}（英语：Bitruncated order-6 hexagonal tiling honeycomb）			{4,6|6}			t0,3{6,3,6}（英语：Runcinated order-6 hexagonal tiling honeycomb）
[(4,4,4,3)]	{8,6|4}			ct{(4,4,3,4)}			{6,8|4}			ct{(3,4,4,4)}
[(4,4,4,4)]	{8,8|4}			q{4,4,4}（英语：Order-4 square tiling honeycomb）
[(6,3,3,3)]	{12,6|3}			ct{(6,3,3,3)}			{6,12|3}			ct{(3,3,6,3)}
[(6,3,4,3)]	{12,8|3}			ct{(6,3,4,3)}			{8,12|3}			ct{(4,3,6,3)}
[(6,3,5,3)]	{12,10|3}			ct{(6,3,5,3)}			{10,12|3}			ct{(5,3,6,3)}
[(6,3,6,3)]	{12,12|3}			ct{(6,3,6,3)}			{6,6|6}			ct{(3,6,3,6)}

参见

• 扭歪多面体
• 扭歪无限面体
• 无限面体