拉马努金和

在数学的分支领域数论中，拉马努金和（英语：Ramanujan's sum）常标示为${\displaystyle c_{q}(n)}$，为一个带有两正整数变量${\displaystyle q}$以及${\displaystyle n}$的函数，其定义如下：

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{a=1 \atop (a,q)=1}^{q}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},}$

提示：此条目的主题不是拉马努金求和。

其中${\displaystyle (a,q)=1}$表示${\displaystyle a}$只能是与${\displaystyle q}$互素的数。

斯里尼瓦瑟·拉马努金于1918年的一篇论文中引入这项和的观念。^[1]拉马努金和也用在维诺格拉多夫定理（英语：Vinogradov's theorem）的证明，此定理指出：任何足够大的奇数可为三个素数的和。^[2]

本文符号汇整

若整数a与b，有关系${\displaystyle a\mid b}$（念作“a整除b”），表示存在一个整数c使得b = ac；相似地，${\displaystyle a\nmid b}$表示“a无法整除b”。

求和符号

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,m}f(d)}$

表示d只采用其正整数约数m，亦即

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12)}$。

另外用到的有：

• ${\displaystyle (a,\,b)\;}$为最大公约数，
• ${\displaystyle \phi (n)\;}$为欧拉总计函数，
• ${\displaystyle \mu (n)\;}$为莫比乌斯函数，以及
• ${\displaystyle \zeta (s)\;}$为黎曼ζ函数。

cq(n)的数学式

三角函数

下面的式子源自于定义、欧拉公式${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$以及基本三角函数恒等式：

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}$

等等（A000012, A033999, A099837, A176742,.., A100051, ...）。这些式子显示出c_q(n)为实数。

拉马努金展开式