敏感度 (控制系统)

敏感度（sensitivity）也称为敏感度函数或灵敏度，是控制系统的特性，是指控制系统容易受外部干扰或是参数变异而影响的程度。敏感度越大，表示控制系统容易被干扰或变异所影响。控制器的参数一般会配合制程特性，因为制程可能会变化，因此控制器的参数需经过考量，减少因制程动态特性变化而影响闭回路控制系统的特性。更进一步来说，敏感度函数对分析干扰如何影响系统上很重要。

敏感度函数

令${\displaystyle G(s)}$和${\displaystyle C(s)}$是受控体和补偿器传递函数的拉氏转换，回授为增益为1的负回授。

量测对参数变化鲁棒性的敏感度函数

闭回路传递函数是

${\displaystyle T(s)={\frac {G(s)C(s)}{1+G(s)C(s)}}.}$

将${\displaystyle T}$对${\displaystyle G}$微分，可以得到

${\displaystyle {\frac {dT}{dG}}={\frac {d}{dG}}\left[{\frac {GC}{1+GC}}\right]={\frac {C}{(1+CG)^{2}}}=S{\frac {T}{G}},}$

其中${\displaystyle S}$定义为以下的函数

${\displaystyle S(s)={\frac {1}{1+G(s)C(s)}}}$

称为敏感度函数（sensitivity function）。${\displaystyle |S|}$的值较小表示受控体参数的相对变化对闭回路传递函数相对误差的影响较小。

量测对外扰抑制能力的敏感度函数

有外扰的控制系统框图

敏感度函数也可以说明外部干扰对输出的传递函数。事实上，假设在系统输出后，有一个增加的扰动量n，系统的闭回路传递函数是

${\displaystyle Y(s)={\frac {C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}}R(s)+{\frac {1}{1+C(s)G(s)}}N(s).}$

输出Y(s)对外部干扰N(s)的传递函数就是出现在上式的敏感度函数${\displaystyle S}$。因此，${\displaystyle |S|}$较低表示对外扰的抑制能力越强。敏感度函数可以看出回授受到外扰影响的程度。若干扰信号频率是使得${\displaystyle |S(j\omega )|}$小于1的频率，该干扰会被减小。若干扰信号频率是使得${\displaystyle |S(j\omega )|}$大于1的频率，会因为回授而将干扰放大^[1]。

敏感度峰值和敏感度圆

敏感度峰值

控制系统中，敏感度函数的最大值需要受到限制。正规敏感度峰值（nominal sensitivity peak）${\displaystyle M_{s}}$定义如下^[2]

${\displaystyle M_{s}=\max _{0\leq \omega <\infty }\left|S(j\omega )\right|=\max _{0\leq \omega <\infty }\left|{\frac {1}{1+G(j\omega )C(j\omega )}}\right|}$

常见的要求是要${\displaystyle M_{s}}$介于在1.3至2之间。

敏感度圆

敏感度${\displaystyle M_{s}}$的大小是传递函数的奈奎斯特图距临界点${\displaystyle -1}$最短距离的倒数。若敏感度${\displaystyle M_{s}}$，表示奈奎斯特图距临界点的距离大于等于${\displaystyle {\frac {1}{M_{s}}}}$，奈奎斯特图在以临界点${\displaystyle -1}$为圆心， ${\displaystyle {\frac {1}{M_{s}}}}$为半径的圆外，这个圆称为敏感度圆（sensitivity circle）。