数列极限

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数列极限（英语：limit of a sequence）为某些数列才拥有的特殊值，当数列的下标越来越大的时候，数列的值也就越接近那个特殊值。

定义

极限的定义 — 取一复数数列 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$，若有一复数 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ，使得

“对于任意的正实数 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在自然数 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，使得任意的自然数 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，只要 ${\displaystyle i>n}$，则 ${\displaystyle |z_{i}-z|<\epsilon }$ ”

用正式的逻辑语言来表示即

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall i\in \mathbb {N} )[\,(i>n)\Rightarrow (|z_{i}-z|<\epsilon )\,]}$

则称数列${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$收敛于 ${\displaystyle z}$（convergent to ${\displaystyle z}$ ），并记作

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z}$

如果不存在这样的复数 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$，则称 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 是发散的（divergent）。

实数数列的极限

从上面的定义可以证明，对实数数列 ${\displaystyle \{z_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 来说，若

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z}$

则其极限 ${\displaystyle z}$ 一定为实数 ，

证明

假设 ${\displaystyle z}$ 的虚部 ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)\neq 0}$ 的话，则对极限定义取 ${\displaystyle \epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0}$ 的话，会存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，使得任意的 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，只要 ${\displaystyle i>n}$有 ${\displaystyle |z-z_{i}|={\sqrt {{[\operatorname {Re} (z)-z_{i}]}^{2}+{|\operatorname {Im} (z)|}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|}$ 这是矛盾的，所以根据反证法，${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=0}$ ，即 ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$ 。${\displaystyle \Box }$

基本性质

唯一性

定理 — 若数列 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 的极限存在，则极限是唯一的。^[1]:29

证明

设数列 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 有两个不相等的极限值${\displaystyle z,\,z^{\prime }\in \mathbb {C} }$，则根据假设，对任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$，使任意 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ 就有 ${\displaystyle |z_{i}-z|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ ${\displaystyle |z_{i}-z^{\prime }|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ 这样根据三角不等式，对任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ， 只要自然数 ${\displaystyle i>n}$ 就有则 ${\displaystyle |z-z^{\prime }|=|(z-z_{i})-(z^{\prime }-z_{i})|\leq |z-z_{i}|+|z^{\prime }-z_{i}|<\epsilon }$ 这样的话，根据不极限不相等的假设有 ${\displaystyle |z-z^{\prime }|>0}$ 所以可以取${\displaystyle \epsilon =|z-z^{\prime }|}$而得到 ${\displaystyle |z-z^{\prime }|<|z-z^{\prime }|}$ 这样是矛盾的，故根据反证法， ${\displaystyle |z-z^{\prime }|=0}$ ，也就是 ${\displaystyle z=z^{\prime }}$，故极限唯一。${\displaystyle \Box }$

有界性

定理 — 若复数数列${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }}$有极限，则存在正实数 ${\displaystyle M>0}$ ，使得对所有的自然数 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 都有 ${\displaystyle |x_{i}|\leq M}$。^[1]:29-30

（即 ${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 有极限则必为有界数列）

证明

因为${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }}$有极限，所以有复数 ${\displaystyle L\in \mathbb {C} }$ 满足 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}$ 这样的话，对于 ${\displaystyle \epsilon =1>0}$ ，存在自然数 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，使得任意的自然数 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，只要 ${\displaystyle i>n}$，则 ${\displaystyle |x_{i}-L|<\epsilon =1}$ 从而 ${\displaystyle |x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|}$ 这样的话，令 ${\displaystyle M=\max \left(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{n}|,\ 1+|L|\right)}$ 就会有 ${\displaystyle |x_{i}|\leq M}$ 故得证。${\displaystyle \Box }$

根据实质条件的意义，上面的定理等价于“如果一个复数数列无界，则这个复数数列一定发散。”^[1]:30

注意有界数列不一定有极限，如数列 ${\displaystyle 1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots }$ 是一个有界数列，但没有极限。

但是当数列有界，存在一个递增或是递减的子数列的话，在假设可数版本的选择公理成立的情况下，则可以证明此数列有极限。

保序性

定理 — 有实数数列 ${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 和 ${\displaystyle \{y_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，若

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$

则“${\displaystyle a>b}$ ”等价于“存在${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>n}$ 就有 ${\displaystyle x_{i}>y_{i}}$”。^[1]:30

证明

左至右： 取${\displaystyle \epsilon ={\frac {a-b}{2}}>0}$，则由前提假设，存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ 就有 ${\displaystyle |x_{i}-a|<{\frac {a-b}{2}}}$ ${\displaystyle |y_{i}-b|<{\frac {a-b}{2}}}$ 从而 ${\displaystyle y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}}$ 故 ${\displaystyle y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}}$ 这样取 ${\displaystyle n=\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ ，左至右就得证。${\displaystyle \Box }$ 右至左： 由前提假设，对任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2},\,n\}}$ 就有 ${\displaystyle \epsilon -a<x_{i}<\epsilon +a}$ ${\displaystyle \epsilon -b<y_{i}<\epsilon +b}$ ${\displaystyle x_{i}>y_{i}}$ 从而 ${\displaystyle 0<x_{i}-y_{i}<a-b}$ 故得证。${\displaystyle \Box }$

四则运算定理

加减法定理 — 有复数数列 ${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 和 ${\displaystyle \{y_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，若

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$

则

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b}$

证明

对任意${\displaystyle \epsilon >0}$ 有 ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}>0}$ ，所以根据前提，对 ${\displaystyle \epsilon >0}$ 存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ 就有 ${\displaystyle |x_{i}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ ${\displaystyle |y_{i}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ 这样根据三角不等式有 ${\displaystyle |(x_{i}-y_{i})-(a-b)|\leq |x_{i}-a|+|b-y_{i}|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon }$ ${\displaystyle |(x_{i}+y_{i})-(a+b)|\leq |x_{i}-a|+|y_{i}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon }$ 故得证。${\displaystyle \Box }$

乘法定理 — 有复数数列 ${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 和 ${\displaystyle \{y_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，若

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$

则

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b}$

证明

对任意正整数${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ 有 ${\displaystyle x_{j}(y_{j}-b)+b(x_{j}-a)=x_{j}y_{j}-ab}$ (1) 且根据上面的有界性，存在${\displaystyle M>0}$ 使得 ${\displaystyle |x_{j}|\leq M}$ (2) 那对任意的${\displaystyle \epsilon >0}$ 有 ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{|b|+M}}>0}$ ，所以根据前提，对 ${\displaystyle \epsilon >0}$ 存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ 就有 ${\displaystyle |x_{i}-a|<{\frac {\epsilon }{|b|+M}}}$ ${\displaystyle |y_{i}-b|<{\frac {\epsilon }{|b|+M}}}$ 这样根据三角不等式和(1)(2)式就有 ${\displaystyle |x_{i}y_{i}-ab|\leq |x_{i}||y_{i}-b|+|b||x_{i}-a|\leq M|y_{i}-b|+|b||x_{i}-a|<M{\frac {\epsilon }{|b|+M}}+|b|{\frac {\epsilon }{|b|+M}}=\epsilon }$ 故得证。${\displaystyle \Box }$

除法定理 — 
有实数数列${\displaystyle {\{x_{i}\in \mathbb {R} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 满足

(1) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$

(2) ${\displaystyle a\neq 0}$

(3) 存在正整数${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ 使任意正整数 ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle j>m}$ 则${\displaystyle x_{j}\neq 0}$

则

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{a}}}$

证明

根据前提(1)，对 ${\displaystyle {\frac {|a|}{2}}>0}$ 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>n}$ 就有 ${\displaystyle a-{\frac {|a|}{2}}<x_{i}<a+{\frac {|a|}{2}}}$ (a) 根据实数系的三分律跟前提(2)，不是 ${\displaystyle a>0}$ 就是 ${\displaystyle a<0}$； 先假设${\displaystyle a>0}$ ，那根据(a)有 ${\displaystyle {\frac {|a|}{2}}={\frac {a}{2}}<x_{i}=|x_{i}|}$ (b) 另一方面，若${\displaystyle a<0}$，同样根据(a)有 ${\displaystyle x_{i}<{\frac {a}{2}}<0}$ (c) 所以综合(b)(c)，可以结论 “存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>n}$ 就有${\displaystyle {\frac {1}{|x_{i}|}}<{\frac {2}{|a|}}}$”(d) 那对任意的${\displaystyle \epsilon >0}$ 有 ${\displaystyle {\frac {|a|^{2}\epsilon }{2}}>0}$ ，所以根据前提(2)(3)和式(d)，对 ${\displaystyle \epsilon >0}$ 存在 ${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} }$ ，使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n,\,m\}}$ 就有 ${\displaystyle \left|{\frac {1}{x_{i}}}-{\frac {1}{a}}\right|={\frac {|x_{i}-a|}{|a||x_{i}|}}<{\frac {2|x_{i}-a|}{|a|^{2}}}<{\frac {2}{|a|^{2}}}\cdot {\frac {|a|^{2}\epsilon }{2}}=\epsilon }$ 故得证。${\displaystyle \Box }$

以上的除法定理配上乘法定理，就可以对一般${\displaystyle {\frac {x_{i}}{y_{i}}}=x_{i}\cdot {\frac {1}{y_{i}}}}$的状况取极限。

审敛法

其中一个判断数列是否收敛的定理，称为单调收敛定理，和实数完备性相关：单调有界数列必收敛，即是说，有上界的单调递增数列，或是有下界的单调递减数列，必然收敛。

柯西数列

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