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数列极限

序列的項“趨向於”何值 来自维基百科,自由的百科全书

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数列极限(英语:limit of a sequence)为某些数列才拥有的特殊值,当数列的下标越来越大的时候,数列的值也就越接近那个特殊值。

定义

极限的定义 — 取一复数数列 ,若有一复数 ,使得

“对于任意的正实数 ,存在自然数 ,使得任意的自然数 ,只要 ,则

正式的逻辑语言来表示即

则称数列收敛(convergent to ),并记作

如果不存在这样的复数 ,则称 发散的(divergent)。

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实数数列的极限

从上面的定义可以证明,对实数数列 来说,若

则其极限 一定为实数

更多信息 假设 ...
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基本性质

唯一性

定理 — 若数列 的极限存在,则极限是唯一的。[1]:29

更多信息 设数列 ...
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有界性

定理 — 若复数数列有极限,则存在正实数 ,使得对所有的自然数 都有 [1]:29-30

(即 有极限则必为有界数列)

更多信息 因为 ...

根据实质条件的意义,上面的定理等价于“如果一个复数数列无界,则这个复数数列一定发散。”[1]:30

注意有界数列不一定有极限,如数列 是一个有界数列,但没有极限。

但是当数列有界,存在一个递增或是递减的子数列的话,在假设可数版本的选择公理成立的情况下,则可以证明此数列有极限。

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保序性

定理 — 有实数数列 ,若

则“ ”等价于“存在 使任何 只要 就有 ”。[1]:30

更多信息 ...
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四则运算定理

加减法定理 — 有复数数列 ,若

更多信息 对任意 ...

乘法定理 — 有复数数列 ,若

更多信息 对任意正整数 ...

除法定理 — 
有实数数列 满足

(1)
(2)
(3) 存在正整数 使任意正整数 只要

更多信息 根据前提(1),对 ...

以上的除法定理配上乘法定理,就可以对一般的状况取极限。

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审敛法

其中一个判断数列是否收敛的定理,称为单调收敛定理,和实数完备性相关:单调有界数列必收敛,即是说,有上界的单调递增数列,或是有下界的单调递减数列,必然收敛。

柯西数列

参考文献列表

参看

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