斯图尔特定理

斯图尔特定理（英语：Stewart's Theorem），或译史都华定理、斯特瓦尔特定理、斯图沃特定理^{[来源请求]}，又称为阿波罗尼奥斯定理。它说明： 在三角形${\displaystyle ABC}$的边${\displaystyle BC}$上任意取一点${\displaystyle P}$，则：

${\displaystyle {\overline {PC}}\ {\overline {AB}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {AC}}^{2}=({\overline {PB}}+{\overline {PC}})({\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {PC}})}$。

斯图尔特定理

该定理由苏格兰数学家马修·斯图尔特（英语：Matthew Stewart (mathematician)）在1746年发表。这个定理以他的名字命名，来纪念他的贡献。^[1]

证明

设a与p的交点为P。 对互补角APB和APC应用余弦定理，可得：

${\displaystyle b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos {\theta }\,}$

${\displaystyle c^{2}=p^{2}+x^{2}+2px\cos {\theta }.\,}$

把第一个等式乘以x，把第二个等式乘以y ：

${\displaystyle xb^{2}=xp^{2}+xy^{2}-2pxy\cos {\theta }\,}$

${\displaystyle yc^{2}=yp^{2}+yx^{2}+2pxy\cos {\theta }.\,}$

两式相加，得：

${\displaystyle xb^{2}+yc^{2}=(x+y)p^{2}+xy(x+y),\,}$

证毕。