斯特林数

在数学中，斯特林数用于解决各种数学分析和组合数学问题，斯特林数是两组不同的数，均是18世纪由詹姆斯·斯特林（英语：James Stirling (mathematician)）引入并以其命名，以第一类斯特林数（英语：Stirling numbers of the first kind）和第二类斯特林数（英语：Stirling numbers of the second kind）的称呼区分。此外，有时候也将拉赫数（英语：Lah number）称为第三类斯特林数^[1]。

第一类斯特林数

定义

第一类斯特林数（英语：Stirling numbers of the first kind）可以定义为对应递降阶乘展开式的各项系数，即 $${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\,}$$ 其中，${\displaystyle s(n,k)\,}$（${\displaystyle 0\leq k\leq n\,}$）即为第一类斯特林数。例如：

$${\displaystyle (x)_{3}=x(x-1)(x-2)\,}$$

则

$${\displaystyle (x)_{3}=0\cdot x^{0}+2\cdot x-3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}\,}$$

于是${\displaystyle s(3,0)=0\,}$， ${\displaystyle s(3,1)=2\,}$， ${\displaystyle s(3,2)=-3\,}$， ${\displaystyle s(3,3)=1\,}$。

由此可知，${\displaystyle s(n,k)\,}$是代数数，或称为有符号（第一类）斯特林数（英语：signed Stirling numbers of the first kind）。

有符号斯特林数的绝对值${\displaystyle |s(n,k)|\,}$可以看作（或直接定义为）把${\displaystyle n\,}$个元素排列成${\displaystyle k\,}$个非空圆圈（循环排列）的方法数目。所以${\displaystyle |s(n,k)|\,}$是算术数，或称为无符号（第一类）斯特林数（英语：unsigned Stirling numbers of the first kind）。无符号斯特林数一般可以记为${\displaystyle c(n,k)\,}$或${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}$。例如：把${\displaystyle 1\,}$，${\displaystyle 2\,}$，${\displaystyle 3\,}$三个数排列成${\displaystyle 0\,}$个非空圆圈，显然有零种方法；排列成${\displaystyle 1\,}$个非空圆圈，有${\displaystyle \left({\begin{matrix}&1&\\2&&3\end{matrix}}\right)\,}$，${\displaystyle \left({\begin{matrix}&1&\\3&&2\end{matrix}}\right)\,}$两种方法；排列成${\displaystyle 2\,}$个非空圆圈，有${\displaystyle \left({\begin{matrix}1\end{matrix}}\right)\,}$${\displaystyle \left({\begin{matrix}2&3\end{matrix}}\right)\,}$，${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&2\end{matrix}}\right)\,}$${\displaystyle \left({\begin{matrix}3\end{matrix}}\right)\,}$和${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&3\end{matrix}}\right)\,}$${\displaystyle \left({\begin{matrix}2\end{matrix}}\right)\,}$三种方法；排列成${\displaystyle 3\,}$个非空圆圈，有${\displaystyle \left({\begin{matrix}1\end{matrix}}\right)\,}$${\displaystyle \left({\begin{matrix}2\end{matrix}}\right)\,}$${\displaystyle \left({\begin{matrix}3\end{matrix}}\right)\,}$一种方法，所以${\displaystyle \left[{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right]=0\,}$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right]=2\,}$，${\displaystyle \left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]=3\,}$，${\displaystyle \left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]=1\,}$。可以看到这和前面有符号斯特林数${\displaystyle s(n,k)\,}$在${\displaystyle n=3\,}$时的结果一致（只是符号差异）。

与有符号斯特林数类似，无符号斯特林数可以定义为对应递进阶乘展开式的各项系数，即

$${\displaystyle (x)^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]x^{k}\,}$$

其中，${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}$（${\displaystyle 0\leq k\leq n\,}$）即为无符号斯特林数。不过要注意，这里的记号${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}$有时候会用来表示高斯二项式系数。

有符号斯特林数和无符号斯特林数有如下关系：

$${\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}$$

拓展示例

无符号斯特林数有更多的应用。例如，将${\displaystyle n\,}$个元素分成${\displaystyle k\,}$组，每组内的元素再进行排列的方法数目即可用无符号斯特林数${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}$求得。以${\displaystyle \left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]=11\,}$为例：

1. (A,B)(C,D)
2. (A,C)(B,D)
3. (A,D)(B,C)
4. (A)(B,C,D)
5. (A)(B,D,C)
6. (B)(A,C,D)
7. (B)(A,D,C)
8. (C)(A,B,D)
9. (C)(A,D,B)
10. (D)(A,B,C)
11. (D)(A,C,B)

或用有向图^{[来源请求]}表示如下：

s(4,2)=11

递推关系式

无符号斯特林数有如下递推关系式：

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right]=n\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}n\\k-1\end{matrix}}\right]\,}$$

其中，${\displaystyle k>0}$，且初始条件为 ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right]=1\,}$，${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0\\n\end{matrix}}\right]=0\,}$（${\displaystyle n>0}$）。

有符号斯特林数有如下递推关系式：

$${\displaystyle s(n+1,k)=-ns(n,k)+s(n,k-1)}$$

第一类斯特林数表

下表其实是一部分无符号斯特林数，要想获得有符号斯特林数，可以通过它们之间的关系式：

$${\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,}$$

求得。

k n	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	2	3	1
4	0	6	11	6	1
5	0	24	50	35	10	1
6	0	120	274	225	85	15	1

简单性质

观察前面的“第一类斯特林数表”，我们可以得到一些简单的性质：

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right]=1\,}$，${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right]=0\,}$（${\displaystyle n>0\,}$）。

如果${\displaystyle k>0\,}$，我们有

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0\\k\end{matrix}}\right]=0\,}$；

或更一般地，如果${\displaystyle k>n\,}$，我们有

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=0\,}$。

还有

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right]=(n-1)!\,}$，

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right]=1\,}$，

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right]={n \choose 2}\,}$，

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-2\end{matrix}}\right]={\frac {1}{4}}(3n-1){n \choose 3}\,}$，

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-3\end{matrix}}\right]={n \choose 2}{n \choose 4}\,}$。

注：这里记号${\displaystyle {n \choose k}\,}$表示组合数。

其他性质

第二类斯特林数

定义

第二类斯特林数（英语：Stirling numbers of the second kind）与第一类斯特林数类似，可以用递降阶乘定义为

$${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k}\,}$$

其中，${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}\,}$^[2][3]即为第二类斯特林数，也可以记为${\displaystyle S(n,k)\,}$^[4]。例如：

$${\displaystyle x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}(x)_{0}+\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}(x)_{1}+\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}(x)_{2}+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}(x)_{3}\,}$$

即

$${\displaystyle x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}x+\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}x(x-1)+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}x(x-1)(x-2)\,}$$

将递降阶乘展开并合并同类项，得

$${\displaystyle x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}+\left(\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}-\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}+2\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}\right)x+\left(\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}-3\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}\right)x^{2}+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}x^{3}\,}$$

比较等式两边系数，得

$${\displaystyle {\begin{cases}\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}-\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}+2\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}-3\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\end{cases}}\,}$$

解得

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\,}$，${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}=1\,}$，${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\,}$，${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\,}$。

第二类斯特林数计算的是将含有${\displaystyle n\,}$个元素的集合拆分为${\displaystyle k\,}$个非空子集的方法数目^[5]。例如：对于集合${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}\,}$，若拆分为${\displaystyle 0\,}$个非空子集，显然有零种方法；拆分为${\displaystyle 1\,}$个非空子集，只有${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}\,}$一种方法；拆分为${\displaystyle 2\,}$个非空子集，有${\displaystyle \left\{1\right\}\,}$${\displaystyle \left\{2,3\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{1,2\right\}\,}$${\displaystyle \left\{3\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{2\right\}\,}$${\displaystyle \left\{1,3\right\}\,}$三种方法；拆分为${\displaystyle 3\,}$个非空子集，有${\displaystyle \left\{1\right\}\,}$${\displaystyle \left\{2\right\}\,}$${\displaystyle \left\{3\right\}\,}$一种方法。于是${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\,}$，${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}=1\,}$，${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\,}$，${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\,}$。

第二类斯特林数可以使用以下公式进行计算：^[6]

$${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}\left({\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right)(k-i)^{n}\,}$$

取${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}\,}$进行验算，有

$${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2!}}\sum _{i=0}^{2}(-1)^{i}\left({\begin{matrix}2\\i\end{matrix}}\right)(2-i)^{3}\,}$$

即

$${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}\left(\left({\begin{matrix}2\\0\end{matrix}}\right)\times 2^{3}-\left({\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right)\times 1^{3}+\left({\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right)\times 0^{3}\right)\,}$$

于是

$${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}\left(1\times 8-2\times 1+1\times 0\right)=3\,}$$

拓展示例

将${\displaystyle n\,}$个人分成${\displaystyle k\,}$组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成${\displaystyle 1\,}$组，只能所有人在同一组，因此${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\1\end{matrix}}\right\}=1\,}$；若所有人分成${\displaystyle 4\,}$组，只能每人独立一组，因此${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\4\end{matrix}}\right\}=1\,}$；若分成${\displaystyle 2\,}$组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即：

1. {甲, 乙}{丙, 丁}
2. {甲, 丙}{乙,丁}
3. {甲, 丁}{乙, 丙}
4. {甲}{乙, 丙, 丁}
5. {乙}{甲, 丙, 丁}
6. {丙}{甲, 乙, 丁}
7. {丁}{甲, 乙, 丙}

因此${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right\}=7\,}$。同理，可以得到${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\3\end{matrix}}\right\}=6\,}$。

递推关系式

第二类斯特林数有与第一类斯特林数类似的递推关系式：

$${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right\}=k\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}n\\k-1\end{matrix}}\right\}\,}$$

其中，${\displaystyle k>0}$，且初始条件为 ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\}=1\,}$，${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}0\\n\end{matrix}}\right\}=0\,}$（${\displaystyle n>0}$）。

第二类斯特林数表

下面为部分第二类斯特林数：

k n	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1

简单性质

观察前面的“第二类斯特林数表”，我们可以得到一些简单的性质：

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\}=1\,}$，${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\}=0\,}$（${\displaystyle n>0\,}$）。

如果${\displaystyle k>0\,}$，我们有

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}0\\k\end{matrix}}\right\}=0\,}$；

或更一般地，如果${\displaystyle k>n\,}$，我们有

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=0\,}$。

还有

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right\}=1\,}$，

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right\}=2^{n-1}-1\,}$，

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\3\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}\,}$，

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right\}=1\,}$，

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right\}={n \choose 2}\,}$，

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n-2\end{matrix}}\right\}={n \choose 3}+3{n \choose 4}\,}$，

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n-3\end{matrix}}\right\}={n \choose 4}+10{n \choose 5}+15{n \choose 6}\,}$。

其他性质

贝尔数和第二类斯特林数有如下关系：

$${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}\,}$$

两类之间的关系

第一类和第二类斯特林数可以看作互为逆矩阵的关系：

$${\displaystyle \sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}}{\displaystyle \sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}\,}$$

以及

$${\displaystyle \sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}}{\displaystyle \sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}\,}$$

其中，${\displaystyle \delta _{nk}\,}$是克罗内克尔δ。

拉赫数

定义

拉赫数（英语：Lah number）是由伊沃·拉赫（英语：Ivo Lah）在1954年发现的^[7][8]，因为拉赫数与斯特林数关系密切，所以有时拉赫数也被称为第三类斯特林数。可以用递进阶乘和递降阶乘定义为

$${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\,}$$

或

$${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}\,}$$

其中， ${\displaystyle L(n,k)\,}$即为拉赫数。例如：

$${\displaystyle x^{(3)}=\sum _{k=0}^{3}L(3,k)(x)_{k}\,}$$

即

${\displaystyle x(x+1)(x+2)=L(3,0)\cdot 1+L(3,1)\cdot x+L(3,2)\cdot x(x-1)+L(3,3)\cdot x(x-1)(x-2)\,}$

等式两边展开并合并同类项，得

$${\displaystyle 0\cdot x^{0}+2\cdot x+3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}=L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[L(3,2)-3L(3,3)]\cdot x^{2}+L(3,3)\cdot x^{3}\,}$$

比较等式两边系数，得

$${\displaystyle {\begin{cases}{L(3,0)=0}\\{L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2}\\{L(3,2)-3L(3,3)=3}\\{L(3,3)=1}\end{cases}}\,}$$

解得 ${\displaystyle L(3,0)=0\,}$，${\displaystyle L(3,1)=6\,}$， ${\displaystyle L(3,2)=6\,}$，${\displaystyle L(3,3)=1\,}$。

或

$${\displaystyle (x)_{3}=\sum _{k=0}^{3}(-1)^{3-k}L(3,k)x^{(3)}\,}$$

即

${\displaystyle x(x-1)(x-2)=L(3,0)\cdot 1+L(3,1)\cdot x+L(3,2)\cdot x(x+1)+L(3,3)\cdot x(x+1)(x+2)\,}$

等式两边展开并合并同类项，得

$${\displaystyle 0\cdot x^{0}+2\cdot x-3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}=-L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[-L(3,2)+3L(3,3)]\cdot x^{2}+L(3,3)\cdot x^{3}\,}$$

比较等式两边系数，得

$${\displaystyle {\begin{cases}{L(3,0)=0}\\{L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2}\\{-L(3,2)+3L(3,3)=-3}\\{L(3,3)=1}\end{cases}}\,}$$

解得 ${\displaystyle L(3,0)=0\,}$，${\displaystyle L(3,1)=6\,}$， ${\displaystyle L(3,2)=6\,}$，${\displaystyle L(3,3)=1\,}$。

以上定义的拉赫数是无符号拉赫数（英语： signed Lah numbers），有符号拉赫数（英语：signed Lah numbers）的定义如下：

$${\displaystyle x^{(n)}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\,}$$

或

$${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}L(n,k)x^{(k)}\,}$$

无符号拉赫数计算的是将含有${\displaystyle n\,}$个元素的集合拆分为${\displaystyle k\,}$个非空线性有序子集的方法数目^[9]。例如：对于集合${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}\,}$，若拆分为${\displaystyle 0\,}$个非空线性有序子集，显然有零种方法；拆分为${\displaystyle 1\,}$个非空线性有序子集，有${\displaystyle \left\{(1,2,3)\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{(1,3,2)\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{(2,1,3)\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{(2,3,1)\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{(3,1,2)\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{(3,2,1)\right\}\,}$六种方法；拆分为${\displaystyle 2\,}$个非空线性有序子集，有${\displaystyle \left\{(1)\right\}\,}$${\displaystyle \left\{(2,3)\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{(1)\right\}\,}$${\displaystyle \left\{(3,2)\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{(2)\right\}\,}$${\displaystyle \left\{(1,3)\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{(2)\right\}\,}$${\displaystyle \left\{(3,1)\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{(3)\right\}\,}$${\displaystyle \left\{(1,2)\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{(3)\right\}\,}$${\displaystyle \left\{(2,1)\right\}\,}$六种方法；拆分为${\displaystyle 3\,}$个非空线性有序子集，有${\displaystyle \left\{(1)\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{(2)\right\}\,}$，${\displaystyle \left\{(3)\right\}\,}$一种方法。于是${\displaystyle L(3,0)=0\,}$，${\displaystyle L(3,1)=6\,}$， ${\displaystyle L(3,2)=6\,}$，${\displaystyle L(3,3)=1\,}$。

无符号拉赫数可以使用以下公式进行计算：

$${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}\,}$$

有符号拉赫数可以使用以下公式进行计算：

$${\displaystyle L'(n,k)=(-1)^{n}{n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}\,}$$

拓展示例

无符号拉赫数（n和k取1到4）

递推关系式

无符号拉赫数有如下递推关系：

${\displaystyle L(n,k+1)={\frac {n-k}{k(k+1)}}L(n,k)}$

或

${\displaystyle L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)\,}$

其中，${\displaystyle L(n,0)=0\,}$，${\displaystyle L(n,0)=0\,}$，${\displaystyle L(n,k)=0\,}$（${\displaystyle k>n\,}$），${\displaystyle L(1,1)=1\,}$

拉赫数表

下面为部分无符号拉赫数：

k n	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	0	1
2	0	2	1
3	0	6	6	1
4	0	24	36	12	1
5	0	120	240	120	20	1
6	0	720	1800	1200	300	30	1

简单性质

观察前面的“拉赫数表”，我们可以得到一些简单性质：

${\displaystyle L(0,0)=1}$， ${\displaystyle L(n,0)=0}$（${\displaystyle n>0}$）

如果${\displaystyle k>n}$，有 ${\displaystyle L(0,0)=1}$，${\displaystyle L(n,k)=0}$

还有

${\displaystyle L(n,1)=n!}$

${\displaystyle L(n,2)={\frac {(n-1)n!}{2}}}$

${\displaystyle L(n,3)={\frac {(n-2)(n-1)n!}{12}}}$

${\displaystyle L(n,n-1)=n(n-1)}$

${\displaystyle L(n,n)=1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)^{k}}$

其他性质

无符号拉赫数计算公式可以作进一步拓展：

${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}={n \choose k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}={n \choose k}{n-1 \choose k-1}(n-k)!}$

${\displaystyle L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!}}\cdot {\frac {1}{(n-k)!}}=\left({\frac {n!}{k!}}\right)^{2}{\frac {k}{n(n-k)!}}}$

无符号拉赫数与两类斯特林数都有关系^[10]，关系如下：

$${\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\j\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}j\\k\end{matrix}}\right\}\,}$$

取${\displaystyle L(3,2)\,}$进行验算，有

$${\displaystyle L(3,2)=\sum _{j=0}^{3}\left[{\begin{matrix}3\\j\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}j\\2\end{matrix}}\right\}\,}$$

即

$${\displaystyle L(3,2)=\left[{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}0\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}1\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}\,}$$

于是

$${\displaystyle L(3,2)=\left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\times 1+1\times 3=6\,}$$

由无符号拉赫数与两类斯特林数之间的关系，考虑到两类斯特林数之间的关系，有

$${\displaystyle \sum _{j\geq 0}L(n,j)L(j,k)=\delta _{nk}\,}$$

其中，${\displaystyle \delta _{nk}\,}$是克罗内克尔δ。

三类之间的关系

三类斯特林数以及乘方、阶乘之间的关系可以用下图表示：