斯通-冯诺伊曼定理

在数学和理论物理学中，斯通-冯诺伊曼定理是指位置和动量算子间的正则对易关系的唯一性的众多不同表述中的一种。它冠名于马歇尔·斯通和约翰·冯·诺依曼。^[1][2][3][4]

对易关系的表示问题

在量子力学中，物理可观测量在数学上由希尔伯特空间上的线性算子来表示。

对于在实轴 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上运动的单个粒子，有两个重要的可观测量：位置和动量。在薛定谔绘景中，位置算子 ${\displaystyle x}$ 和动量算子 ${\displaystyle p}$ 在 ${\displaystyle \psi }$ 上的作用定义为$${\displaystyle {\begin{aligned}[][x\psi ](x_{0})&=x_{0}\psi (x_{0})\\[][p\psi ](x_{0})&=-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x_{0})\end{aligned}}}$$定义域 ${\displaystyle V}$ 中的 ${\displaystyle \psi }$ 是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的紧支撑无穷可微函数。假定 ${\displaystyle \hbar }$ 是一固定的非零实数——在量子理论中 ${\displaystyle \hbar }$ 即是约化普朗克常数，其具有作用量的量纲（即能量乘时间的量纲）。

算子 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle p}$ 满足正则对易关系的李代数：$${\displaystyle [x,p]=xp-px=i\hbar .}$$赫尔曼·外尔在他的经典著作^[5]中指出，若 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle p}$ 是作用于有限维空间上的线性算子，除非 ${\displaystyle \hbar }$ 为零，否则它们不可能满足上面的对易关系。这一点可通过对第二个等号的两边取迹并使用关系 ${\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)}$ 之间看出：左边将为零，而右边却非零。进一步的分析表明，任何两个满足上述对易关系的自伴算子不可能同时是有界的（事实上， Wielandt的一个定理表明，任何赋范代数的元素都不可能满足该关系^{[note 1]}）。为了记号上的方便， ${\displaystyle \hbar }$ 的非零平方根可以被吸收到 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle p}$ 的定义中，如此也就是说可以用 1 替换它，下文将使用这种约定。

斯通-冯诺伊曼定理的思想是，正则对易关系的任意两个不可约表示都是幺正等价的。然而，由于所涉及的算子必然是无界的（如上所述），存在一些棘手的定义域问题，允许反例的存在。^{[6] :Example 14.5}为了获得严格的结果，必须要求算子满足标准对易关系的指数形式，即所谓的外尔关系。指数映射后的算子是有界且幺正的。虽然这些关系在形式上等同于标准规范交换关系，但这种等价性并不严格，这（同样）是算子的无界性质导致的。（还有一个外尔关系的离散类比，在有限维空间中成立^{[6]:Chapter 14, Exercise 5} ，即有限海森堡群中的西尔维斯特时钟和移位矩阵，如下所述。）