星形多边形

提示：此条目的主题不是星状多边形。

在几何学中，星形多边形是一种外观有数个向外凸起的非凸多边形。目前几何学上尚未有一个广泛被接受的星形多边形定义，目前较常见的定义为存在顶点不和相邻顶点连接的多边形^[1][2]，或者从一般多边形透过截角或延长边并使其相交所形成的形状^[3]。目前有被从多个角度进行研究的星形多边形只有星形正多边形。数学家布兰科·格伦鲍姆（英语：Branko Grünbaum）指出了两种由开普勒提出的定义：一种是具有自相交棱的星形正多边形，且自相交的棱不产生新的顶点，另一种是等边的简单凹多边形^[5]。

两种星形多边形

{5/2}	|5/2|
正五角星{5/2}是一种星形多边形，有五个顶点和互相相交的边，其可以对应到一个凹十边形|5/2|。
小星形十二面体	镶嵌

命名

星形多边形一般有许多向外突出的角，一般依照其向外突出之角的数量命名，如五角星，部分文献将之称为一个芒，整体形状以芒数命名，如五芒星^[6]与六芒星^[7]。

简单等边星形多边形

若一星形多边形是一个简单多边形或边不相交的多边形，则该星形多边形不可能为星形正多边形，因为若将星形正多边形的相交边移除，则其不再正多边形，但可以形成等边多边形。这类等边多边形通常由2个落在半径不同的圆上之顶点交错连接构成。数学家布兰科·格伦鲍姆（英语：Branko Grünbaum）在其著作《Tilings and Patterns》中将这类多边形以符号${\displaystyle |x|}$表示由星形多边形${\displaystyle \{x\}}$移除相交线段后构成的星形多边形，例如星形多边形${\displaystyle \{{\frac {n}{d}}\}}$移除位于内部的线段后的结果计为${\displaystyle |{\frac {n}{d}}|}$或${\displaystyle \{n\alpha \}}$表达一个内角${\displaystyle \alpha <180(1-{\frac {2}{n}})}$度的n角星^[5]。

简单等边星形多边形

|n/d| {nα}	{330°}	{630°}	|5/2| {536°}	{445°}	|8/3| {845°}	|6/2| {660°}	{572°}
α	30°		36°	45°		60°	72°
β	150°	90°	72°	135°	90°	120°	144°
等边星形多边形
对应的星形正多边形	{12/5}		{5/2}	{8/3}		2{3} 星形图（英语：Star figure）	{10/3}

星形正多边形

{5/2}

{7/2}

{7/3}...

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星形正多边形包括五角星和八角星等等，n角星的施莱夫利符号为{n/m}，其中m是小于n/2且和n互质的正整数。托马斯·布拉德华是最早系统性地对星形正多边形的研究的学者，后来约翰内斯·开普勒也做了类似的研究。^[8]

参见

• 星形多面体