星形线

星形线（astroid）或称为四尖瓣线（tetracuspid），是一个有四个尖点的内摆线，也属于超椭圆的一种。所有星形线皆可以依以下的方程式比例缩放而得^[1]：

${\displaystyle x^{\frac {2}{3}}+y^{\frac {2}{3}}=a^{\frac {2}{3}}.\,}$

星形线

绘制星形线

其英文名称得名自希腊文的“星星”，星形线几乎和椭圆的渐屈线相同。

若让一个半径为${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$的圆在一个半径为1的圆内部，延著圆的圆周旋转，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线。星形线的参数方程为^[1]：

${\displaystyle x=a\cos ^{3}\theta ,\qquad y=a\sin ^{3}\theta .}$

星形线是一个几何亏格（英语：geometric genus）为0代数曲线的实数轨迹，其方程式如下：

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1)^{3}+27x^{2}y^{2}=0.\,}$

因此星形线为六次曲线，在实数平面上有四个尖瓣的奇点，分别是星形线的四个顶点，在无限远处还有二个复数的尖瓣的奇点，四个重根的复数奇点，因此星形线共有十个奇点。

星形线的对偶曲线（英语：Dual curve）是十字架形曲线（英语：cruciform curve），其方程式为${\displaystyle \textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}$。星形线的渐屈线为另一个二倍大的渐屈线。

一个半径为${\displaystyle a}$之圆的内摆线构成的星形线，其面积为${\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}}$，周长为${\displaystyle 6a}$。

相关条目

• 三尖瓣线：一个有三个尖瓣的内摆线
• Stoner–Wohlfarth星形线（英语：Stoner–Wohlfarth astroid）：星形线在磁学中的应用。